● ・ ・ 解题技巧与方法 ０番 ● 巧用“转化与化归＂思想秒杀高考题 ◎薛 梅 （江苏省如皋市丁堰中学２２６５２１） 【摘要】高考数学选择、填空等小题的快速解答是拿高分 的基础是争取时间的关键，也是检查考生能否灵活应用数学 ３ 变式训练 设实数 ，Ｙ满足３≤ｘ２ｙ≤８，４≤ ，≤９，则 思想解题的试金石．如何在分秒之间破题得分，值得大家去 思考和探究．纵观２０１０年全国各地高考卷，我们不难发现 Ｌ的取值范围是 ． 答案 ［１，１６］ 一“转化与化归”思想的应用始终贯穿其中．笔者结合几道高考 小题，谈谈如何应用“转化与化归”思想秒杀高考小题． 、转化与化归思想的概念 转化与化归思想方法，是指在研究和解决有关数学问 【关键词】转化与化归；高考 牵动国人的２０１０年高考在凤凰花开的季节落下了帷 幕，而引发广大网民热议的“江苏高考数学卷直接秒杀了江 苏５３万考生”的帖子依然热度不减．据考生们反映，江苏高 考数学卷中的第１２题，题型新颖，看上去不难，却又无从下 题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问 题的一种方法．应用转化与化归思想解题的原则应是化难 为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化．常见的转化 有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体 与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、数 学语言的转化等． 二、转化与化归思想的应用 笔者精选了今年的五道高考题，多角度、多层面来演绎 转化与化归思想的巧用． 手，很多人直接“缴械投降”．下面就让我们来看看这道题的 破解之法： 题目 （２０１０年江苏卷・题１２）设实数 ，Ｙ满足３≤ 例１ （２０１０年全国Ｉ（理）・题４）已知各项均为正数的等 Ｙ ≤８，４≤÷≤９，则 的最大值是——． ） 比数歹４｛ｎ ｝，ｒ上ｌ０２０３＝５，ａ７口８Ⅱ９＝１０，贝４ ａ４０５ ｒ上６等于（ ）． 答案２７． Ａ．５，／ｙ 答案 Ａ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．４，／Ｙ 解答如何快速破解该题，笔者作了如下思考：观察条 件式子和求解式子，我们想到将求解式子分解变形，可得 ： ． ，命题意图 本小题考生如只从等比数列的通项着手， 则会带来很大的运算量且易出错．而抓住等比数列的性质、 Ｖ ２● 继续探索｛是否可用条件式子表示，不难发 ２ 指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识去解决问题，则 事半功倍． 解析 由等比数列的性质知ｏ。ａ２ｏ，＝（ｏ。ｎ ａ ＝ｎ ＝ 现 ： Ｙ－－－ ２从而可得 ＝；・上’ｘ ｙ ｙ Ｙ （＼）｝ｘ等） １－ －ｉ．根据条件 ，ｘｙ２＝５， ７Ⅱ８Ⅱ９＝（０７ ｒ上９）。８＝０ｉ＝１０，．’．口２０８＝５０Ｔ，最ｐ ０，４Ⅱ５口６＝ 易知ｘ，Ｙ均大于０，．‘． Ｙ ＞０， ｘｙ ＞０．因此根据不等式的性 （０，４ｆＩ６）０５＝ｆＩ；＝（￣／Ⅱ２ｏ８） ＝（５ｏ百） ：５√２． 例２ （２０１０年全国Ｉ（理）・题１３）不等式 ２ ＋１一 ≤１ 的解集是 ． 质可将４≤ ≤９两边平方，得１６≤ｆ １≤８１．同时由３≤ 、ｙ／ ≤８也可得÷≤ ｘｙ≤了１．所以等的最大值等于（等）‘的 最大值乘以÷的最大值，即等于８ｌ×÷＝２７． ｘｙ 答案 ［０，２］． 命题意图 本小题考生如果直接对不等式两边平方， 则过程繁琐容易出错．如从根式不等式的解法人手，将原式 转化为 ２ ＋１≤１＋ ，利用０≤ｖ／２ ＋１≤１＋ ，两边同 时平方去根号求解则省时省力，一蹴而就． 评析 这道题乍一看好像很难找到突破口，无破解之 法．但通过观察条件和结论之间的联系，将结论与条件相互 转化，便可迅速得出答案．考生们说本题有奥数风格，其实 仔细分析会发现，本题考查了高中数学中一种非常重要的 解题思想：转化与化归思想．笔者在平时的教学过程中也曾 遇到类似情况：很多学生反映，虽然平时进行了大量的解题 训练，但在模拟考试中总会遇到一些感觉上不难却又不会 做的题目，很苦恼，并询问如何避免类似现象再发生：笔者 认为，这就是学生没有很好地理解掌握“转化与化归”思想 的一种表现． 解析原不等式等价于｛ ¨ ， 解得０≤ ≤２，．・．不等式￣／２ｘ ＋ｌ— ≤ｌ的解集是［０，２］． 转化与化归思想作为高中数学解题的基本思想之一， 渗透在学生平时的学习和考试中．学生运用转化与化归思 想解题的过程，就是解题能力和数学思想提升的过程．作为 数学老师，要注重培养学生创造性运用转化与化归思想解 题的能力，做到让学生弄懂、吃透，活学、活用，在解题时走 近路、使巧劲、抢时间、得高分． 数学学习与研究２０１０．１９
