电磁场论习题6

1、已知空气中存在电磁波的电场强度为

EeyE0cos(6108t2z) V/m

试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什么？求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强度瞬时式可以写成复矢量

eEejkz Ey0该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且Eez0Eez，此波为均匀平面波。传播方向为沿着z方向。

由时间相位t6108t6108

波的频率f3108 Hz 波数k2

2波长1 m kdz相速vp310 m/s dtk由于是均匀平面波，因此磁场为

1(eE) eE0ejkz HzxZWZW

2、有一频率为600 MHz的均匀平面波在无界理想介质(r4,r1)中沿x方向传播，已知电场只有y方向，初相位为零，且tt010 s时，x1 m处的电场强度值为800 kV/m。试写出E和H的瞬时表达式。 解：根据题意，角频12108，krr0028，因此 cEeyE0cos(12108t8x)

由t10 s，x1 m处的电场强度值为800 kV/m，可以得到E0800 kV/m

Eey800cos(12108t8x) kV/m

根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为

e800ej8x kV/m Ey波阻抗为ZWrr060 。因此磁场强度复矢量为 01(eE) e40ej8x kA/m HzZWx3因此，磁场的瞬时表达式为

Hez40cos(12108t8x) 3

3、在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为

EexE0sin(2108t2z) 已知介质的r1，求r，并写出H的表达式。

解：根据电场的瞬时表达式可以得到2108，k2，而

krr00电场强度的瞬时式可以写成复矢量为

rckcr9

2eEej2zj2 Ex0 1

波阻抗为ZW40 ，则磁场强度复矢量为 E0j2zj12 H(eE) eyeZWz40因此磁场为

HeyE0sin(2108t2z) 40

4、无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为

(e2e3)ej(/4kz) V/m Exy写出磁场强度的复矢量以及平均功率流密度。

e0Ee，因此磁场强度复解：首先判断是均匀平面波。该电场幅度为13，相位和方向均不变，且Ezz矢量可写成

1(eE) 1[e(e2e3)]ej(/4kz)HxyZWz120z

1 (ey2ex3)ej(/4kz)120平均功率流密度为

1H*) 1(e2e3)(e2e3)Re(Eyyx2240x

13 ez W/m2240Sav

6、下列表达式中的平面波各是什么极化波？如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋？

(1) EexE0sin(tkz)eyE0cos(tkz)；

(2) EexE0sin(tkz)ey2E0sin(tkz)； (3) EexE0sin(tkz(4) EexE0sin(tkz)eyE0cos(tkz)； 44)eyE0cos(tkz)。 4解：判断左旋和右旋极化的方法是将大拇指指向波的传播方向，其余四指指向电场矢量顶点的旋转方向，符合右手螺旋关系的称为右旋极化波，否则为左旋极化波。

(1) 消除变量tkz后可以得到由Ex和Ey所表示的电场E的顶点随时间移动的轨迹为

2E2E2 Exy0tgEyExyctg(t)tg(t)

EyEE0即t——当t增加时，却减小；因此，电场为沿ez方向传播的左旋圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。

(2) 消除变量tkz后得到由Ex和Ey所表示的电场E的顶点随时间移动的轨迹为

Exx Ey2Ex

与x轴夹角为arctan263.40，因此，该电场为沿ez方向传播的线极化波。

(3) 原式变成EexE0cos(tkz随时间移动的轨迹为

)eyE0cos(tkz)，则消除变量tkz后得到电场E的顶点44EyEx

与x轴夹角为450，因此，该电场为沿ez方向传播的线极化波。

2

(4) 原式可以写成EexE0cos(tkz顶点随时间移动的轨迹为

22EEcosExxy4)eyE0cos(tkz)，则消除变量tkz后可以得到电场E的

42E2sin2Ey0422EEE2E2/2 Exxyy0E与x夹角为

tgEyExcos(t)cos(t)4当t增加时，却减小；因此，电场为沿ez方向传播的左旋椭圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。

7、试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。 证明：设圆极化波瞬时式为



EexE0cos(tkz0)eyE0sin(tkz0)

复矢量为

(eEejE)ejkzj0 Ex0y0则磁场强度的复矢量为

1(eE) 1[e(eEejE)]ejkzj0Hx0y0ZWzZWz

1 (eyE0exjE0)ejkzj0ZW磁场强度的瞬时值为

H 因此瞬时坡印廷矢量为

1[eEcos(tkz0)exE0sin(tkz0)] ZWy02E012222SEH[eEcos(tkz0)ezE0sin(tkz0)]e

ZWz0ZWz因此圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。

8、试证明任何的椭圆极化波均可分解为两个旋转方向相反的圆极化波。 证明：设椭圆极化波电场的复矢量为

(eEejE)ejkzExxyy 11 [ex(ExEy)eyj(ExEy)]ejkz[ex(ExEy)eyj(ExEy)]ejkz22上式第一项为沿ez方向传播的左旋圆极化波，第二项为沿ez方向传播的右旋圆极化波。

9、铜的电导率5.8107 S/m，rr1。求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其波阻抗。

(1) f1 MHz；(2) f100 MHz；(3) f10 GHz 解：已知01109 F/m和04107 H/m，那么 3611.0441018 2fr0f(1) 当f1 MHz时，

1.04410121，则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分别为 15.132f15.132103

2相速：vp

4.152104f0.4152 m/s 3

波长：24.152104 m 16.6105 m

透入深度：波阻抗：ZW

(1j)2.61107(1j)f2.61104(1j)

2(2) 当f100 MHz时，

1.04410101，则铜仍可以看作为良导体，衰减常数和相位常数分别为 15.132f15.132104

24.152104f4.152 m/s 2波长：4.152105 m 相速：vp(1j)2.61107(1j)f2.61103(1j) 波阻抗：ZW2(3) 当f10 GHz时，1.0441081，则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分别为 15.132f15.132105

2透入深度：16.6106 m

4.152104f41.52 m/s 2波长：4.152106 m 相速：vp透入深度：1波阻抗：ZW(1j)2.61107(1j)f2.61102(1j)

26.6107 m

10、海水的电导率4 S/m，r81，r1，求频率为10 kHz、10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。

118109 F/m和04107 H/m，那么109。 36f9188(1) 当f10 kHz时，1091051，则海水可看作良导体，衰减常数和相位常数分别为

f993.97103f0.397

2解：已知01.582103f1.582105 2波长：15.83 m 相速：vp(1j)0.316103(1j)f0.099(1j) 波阻抗：ZW28(2) 当f10 MHz时，10288.891，则海水也可近似看作良导体，衰减常数和相位常数分别

9为

4

透入深度：12.52 m

相速：vp23.97103f12.55

1.582103f5.00106 2波长：0.500 m (1j)0.316103(1j)f3.139(1j) 波阻抗：ZW21881091010.0891，则海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数和(3) 当f10 GHz时，

f99相位常数分别为

80

2318f600

c1相速：vp108 m/s

321 m 波长：3001透入深度：0.012 m

(1j)40(1j0.045) 波阻抗：ZW23

20、均匀平面波由空气向理想介质(r1，r1)平面垂直入射，已知分界面上E010 V/m，H00.25 A/m。试求：

(1) 理想介质的r；

(2) 空气中的驻波比；

(3) Ei，Hi；Er，Hr；Et，Ht的表达式。 解：(1) 利用波阻抗的表达式

透入深度：10.080 m

ZW因此

21r0E 0H0H(1200.025)288.8 rE0(2) 垂直入射的反射系数

RZW2ZW1

ZW2ZW1ZW240，ZW1120，则反射系数的模为

|R|0.808

因此驻波比为

S(3) 垂直入射的入射波复矢量为

1|R|1.8089.417 1|R|0.192 5

eEejk1zEixi0eHejk1z Hiyi0反射系数为

R因此反射波复矢量为

130.81 13eREejk1zErxi0eRHejk1z Hryi0透射系数为

T因此透射波为

2ZW22400.192

ZW2ZW140120eTEejk2zEtxi0eZW1THejk2ze3THejk2z Htyi0yi0ZW2根据题意，已知分界面上E010 V/m，H00.25 A/m，则TEi0E0，即Ei052.1 V/m，3THi0H0，即

Hi00.14 A/m。因此，入射波、反射波和透射波分别为

e52.1ejk1zEixe0.14ejk1z Hiye42.2ejk1zErxe0.11ejk1z Hrye10ejk2zEtxe0.25ejk2z Hty

21、频率为300 MHz的均匀平面波由空气垂直入射到海面。已知海水的r81，r1，4 s/m，且海面的合成波磁场强度H05103 A/m。试求：

(1) 海面的合成电场强度； (2) 空气中的驻波比；

(3) 海面下0.1 m处的电场强度与磁场强度振幅； (4) 单位面积进入海水的平均功率。 解：角频2f6108。令jkj，那么

xz2.96，因此海水不能看作良导体。若 2119.27658.28 Np/m2c21112.92481.205 rad/m 2c (1) 海水波阻抗为

ZW 式中sin1/2401j1j2.961/23 4012.961/2j/23[3.124(3.124j3.124)]23.67e2.96，即71.350，波阻抗为 3.12423.67ej35.67 ZW6

海水表面的电场强度为 (2) 空气中波阻抗为ZW0H23.67ej35.67H0.118ej35.67 V/m E0ZW0120，则反射系数

ZZ19.2313.80j120357.7613.80jW0 RWZ19.2313.80j120396.2213.80jZWW0358.020.903，因此空气驻波比为

396.461|R|1.903S19.6

1|R|0.097(3) 上述求出海面电场强度和磁场强度的值。对海面下0.1 m的电场强度和磁场强度为

Eez0.118ej35.67e58.280.1 V/mE0 0.118ej35.67e5.828 V/m 3.474ej35.67 V/mHez5103e58.280.1 V/mH0 1.47105 V/m(4) 平均坡印廷矢量为

1H*] SavRe[E2单位面积进入海水内的功率等于海表面处的平均坡印廷矢量的大小，即

1H]1|H|2Re[Z]2.41104 W/m2 SavRe[E000W22

6.24、试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时，进入到良导体内的功率与入射功率之比约为

4Rs/ZW1，其中Rs是良导体的表面阻抗，ZW1是理想介质的波阻抗。

2证明：对于理想介质垂直入射到良导体的透射系数为

2ZW2T

ZW2ZW1因此|R|式中ZW2ZW1/21j(1j)为良导体的波阻抗，ZW1为理想介质的波阻抗。2对良导体，存在ZW2ZW1，则透射系数为

2ZW2 ZW1eE0ejkz，平均坡印廷矢量为 eEejkz，则磁场H设入射波电场为Eiyix0ZW121H*]1|E0|e SaviRe[Eii22ZW1zT透射波的电磁场为

eTEejkz Etx0TE0jkzHteye ZW2在良导体表面的平均坡印廷矢量为

Savt1H*]1|T|2|E|2Re[1]e Re[Ett022ZW2z单位面积进入良导体内的功率等于良导体表面的平均坡印廷矢量大小，则进入到良导体的功率与入射功率之比为

7

Savt4|ZW2|212|T|ZW1Re[] ZW1SaviZW22|ZW1|24 ZW144Rs2  2ZW1ZW1

29、垂直极化波由水中以i200的入射角投射到水与空气的分界面上。若淡水的r1，r81，试求反射系数、折射系数以及临界角c。

解：垂直极化波的反射系数和折射系数为

Rcosi2/1sin2icosi2/1sin22i

T2cosicosi2/1sinicosi1/rsin2icosi1/r2cosicosi1/rsin2i空气中20，淡水中1r0，则上式变成

RTsin2

i那么，由1/rsin2i0可以导出临界角c为

csin1(1/r)6.3790

显然，题意中入射角ic，将发生全反射，则反射系数和透射系数变成

R cosijsin2i1/rcosijsin2i1/r0.94j0.1170.0120.94j0.1170.0120.94j0.324j380 e0.94j0.3240.994ej1902cosi1.879j190 T1.89e0cosijsin2i1/r0.994ej19

00.994ej19

8