2012广东专插本考试高等数学试题

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》（公共课）试题

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目

要求）

1．已经三个数列{an）、{bn）和{cn）满足anbncn（n∈N+），且liman =a，limcn =c(a、b

nn 为常数，且aA．有界 B．无界 C．收敛 D．发散

2．x=0是函数

f(x｛)e2x,x03= x1x，x0（1-2x），的

A．连续点 B．可去间断点

C．跳跃间断点 D．第二类间断点 3．极限lim2x sin

x A．0 B．2

C．3 D．6

x24．如果曲线y=ax-的水平渐近线存在，则常数a= x1 A．2 B．1 C．0 D．-1

5．设f(x，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分I4df(rcos,rsin)rdr化

00为直角坐标形式，则I= A．

1220dx1x2xf(x,y)dy B．220dx1x20f(x,y)dy

C．

220dy1y2yf(x,y)dx D．220dy1y20f(x,y)dx

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6．设f(x)在点x0处可到，且f’(x0)=3，则lim7．若f(x)x0f(x02x)f(x0) . xtanx（）= ． xdx，则f”

8．若曲线y=x3+ax2 +bx+l有拐点(-l，0)，则常数b= ____．

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exdx ． 9．广义积分1ex010．设函数f(u)可微，且f’(o)=

1，则z=f（4x2一y2）在点(1，2)处的全微分dz2(1,2) .

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

1lnx11．计算lim()．

x1xdyxln(3t2t)12．设函数y=f(x)由参数方程所确定，求(结果要化为最简形式).

2dxy3t113．确定函数f(x)(x1)e4arctanx的单调区间和极值．

214．求不定积分ln(1x)dx.．

13x411xe,x22215．设f(x)，利用定积分的换元法求定积分1f(x1)dx．

112,x2x216．求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件yx01,y'x08特解．

2z17.已知二元函数z=x(2y+1)，求

yxx

．

x1y218．计算二重积分

Dy2xd，其中D是由曲线y=x及直线y=1，x=0围成的闭区域．

四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）

19．已知C经过点M(1，0)，且曲线C上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP（O为坐标原点）的斜率之差等于ax（常数a>0）．

(1)求曲线C的方程；

(2)诚确a的值，使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于20．若当x→0，函数f(x)3． 8x02t33tadt与x是等价无穷小量；

(1)求常数a的值；(2)证明：

1f(2)8． 2广东专插本考试资源网http://www.xunaizhan.com

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》参及评分标准

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一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．A 2．C 3．D 4．B 5．C

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6．-6 7．

1 8．3 9．ln2 10．4dx - 2dy

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） -Wl+x) （2分） 1l．解：原式=limexln(1x)lnx， （2分）

limln(1x)limxxlnx11x （4分） 1x 原式e. （6分）

-1dx12．解：dt

11223tt3t113t2；

dyt. （3分）

2dt3tdyyt' t（结果没有化简扣2分）. (6分)

dxxt'13．解：函数f(x)的定义域为(,)，

arctanx f'(x)e4(x1)ex(1x)1x24arctanx1

1x2 e4arctanx ， （2分）

令f'(x)0，解得x=0，x=-1

因为在区间(-∞，-1)内，f'(x)0；在区间(-l，0)内，f'(x)<0；

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在区间(0，+)内，f'(x)0，

所以f(x)的递增区间是(-，-1)及(0，+)，递减区间是（-1，0）， (4分)

 f(x)的极大值是f(1)2,f(x)的极小值f(0)e4． (6分)

2x2dx (2分)， 14．解：ln(1n)dxxln(1x)2221x xln(1x2)2(111x2)dx xln(1x2)2x2arctanxC 15．解：

211f(x1)dxx1tf(t)dt 2121 211211f(t)dt(t)dt21f1f(x)dx21f(x)dx

221 211x3ex41dx2112x2dx 1 01x11. 216．解：由微分方程的特征方程r2 - 4r +13=0解得r=2±3i， 所以此微分方程的通解为

ye2x(C1cos3xC2sin3x). 因为y'2e2x(C2x1cos3xC2sin3x)e(3C1sin3x3C2cos3x), 由yx0C11及y'x02C13C28 解得C1=1，C2=2，

故所求特解为ye2x(cos3x2sin3x). 17．解：zy2x2(2y1)x1, 2 xyx4x(2y1)x12x2(2y1)x1ln(2y1) ， (6分) 2分）

4分） 6分）

2分）4分）

（6分） (2分) (4分)

（ （ （ （ （ 广东专插本考试资源网http://www.xunaizhan.com

2z 故

yx42ln3 (6分)

x1y118．解：积分区域D如图：

y2xddy12 y2xdx （3分）

00 =10[232y23(yx)20]dy =

2130y3dy16 四、综合题（本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）

19．解：(1)设曲线C的方程为y=厂O），由题意知

y'yxax,且yx10． 由y'yxax得

1 ye1xdx(axexdxdxC)elnx(axelnxdxC) x(adxC)x(axC),， 因为yx1aC0，解得Ca

故曲线C的方程为yax2axax(x1)． (2)如图，

由ax2axax解得x=0，x=2， 即(ax2a33x)204a8a833，

解得a=2． 由题意知220(axaxax)dx83， 6分） （2分） （4分）

（6分) 10分） 12分）

（ （ （广东专插本考试资源网http://www.xunaizhan.com

20．解：(1)解：由题意知limx0x02t33tadtx23lim2xx033xa2a1， （4分）

a0． (2)证：f(2) 设g(x)2x3202t33tdt2x03xdx，

(3x23)ln2， （6分）

3x，则g'(x)2x33x 令g'(x)0，在区间(0，2)内解得x=l， 因为g(0)=1，g(1)=

14，g(2)=4， 所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为14． 由定积分的估值定理可得120ex33x2dx8， 所以有

12f(2)8． 8分） 10分） （ （