中点及中点问题

中点及中点问题

含有一个或多个中点的几何问题称为中点问题，它是几何中的重要慨念。涉及中线、中位线、中心对称等相关的知识。

解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如倍长中线，作直角三角形斜边上的中线、．．．．．．．．．．．．．．．．．．构造三角形或梯形中位线、构造中心对称图形等。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

下面是关于中点问题的一些基本辅助线的作法:

1如图，在△ABC中，AB=AC，EC是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=A求证：CE=CD/2

2、已知：四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA及EF的延长线交于M，CD及EF的延长线交于N。证明;∠AMF=∠DNF （利用三角形的中位线平移线段和角，使它们相对集中，是解关于中点问题的常用方法）

3、已知：以△ABC的AB、AC边为斜边向外作等腰直角三角形ADB和AEC，F是BC的中点。证明; (1)DF=EF (2)DF⊥EF

4、如图，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CM上的一点，且∠BAE=2∠DAM，求证：AE=BC+CE

5、如图，在△ABC中，∠C=90°,M是AB的中点， E、F分别在BC、AC上，且∠EMF=90°，求证：AF+BE=EF （构造中心对称图形，得到两个全等的三角形，可把分散的条件相对

集中）

6、如图，在梯形中ABCD中，AD∥BC，AB、BC、CD、DA的中点分别E、F、G、H，且梯形ABCD的面积是12，求四边形EFGH的面积.

7、已知：在△ABC中，DG分别是AB、AC上的点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于Q。求证：AP=AQ

8、如图，在△ABC中，M是BC的中点，AP是∠A的平分线，BP⊥AP于P，若AB=12，AC=22，求PM的长度。

9、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一直线上，求证：EF和GH互相平分

10、如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，∠CAD的平分线交DE于G，交CD于F，若EG=24，求FC的长度

11、如图，在△ABC中，∠B=90°, ∠BAC=78°,过C作CF∥AB，连接AF与BC相交于G，且FG=2AC，求∠BAG的度数

12、在平行四边形ABCD中，AB=2BC,BE⊥AD于E,F是CD的中点, ∠DEF=60°,求∠EFC的度数

13、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点，AB=10cm，求MD的长度

14、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB﹥CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：△EFM是等边三角形

15、平行四边形ABCD的两邻边之比是1：2，M是长边AB的中点，求∠CMD的度数

16、如图，M是AB得中点，在△ABD中,C是AB上任意一点，N、P分别是DC、DB上的中点，Q是MN的中点，连接PQ并延长交AB于E，求证：E是AC的中点