江西财经大学高等教育出版社邹玉仁微积分一试卷09-10 (含答案)

09-10学年第一学期期末考试试卷

试卷代码：03023B 授课课时：48 课程名称：微积分 Ⅰ 适用对象：2009级

试卷命题人 杨寿渊 试卷审核人 邹玉仁、罗世华

一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题2分，共14分.） 1. 若函数

f(x)满足

f(x)1f2x，x则

f(x)_______________y= -21-x 3x3___________。

2.

3limxxcosx__________0___________________x1_________。 3.

limx021211x1x_______________-1_______________

_____________。 4.

limx01cotxln(1x)________不存在

___________________________。 5. 函数ylnx（

0）的一阶导数是

__________________________________。 6.

已

知

xyyx0，则

dy________________________________________。 dx7.供给函数

QlnpC的弹性函数是

____________________________________________。

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）

1.下列数列存在极限的是_____________。 A.

nn2(1) nn! B. nn

C. n D. lnsinn

2.下列函数中存在可去间断点的是_____________。 A. C.

1f(x)x B.

f(x)e1x

xf(x)x1 D. f(x)xsinx

3.下列命题中正确的是_____________。

A. 极限存在一定连续 B. 可导函数一定连续

C. 分段函数一定不连续 D. 连续函数在有限长度的区间内一定有界

4．设函数

x0f(x),g(x在点)的某个邻域内连续，且

limx0g(x)f(x)1，limx022，则下列说法正确xg(x)的是______________。 A.

f(x)在x0处不可导

B. f(x)在x0处可导，且

f'(0)0

C. f(x)在x0处可导，且f'(0)0 D. 无法判断

5．函数

f(x)2x3x2x3在,内的

32零点个数是______________。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

6．下列说法正确的是________________。 A. 函数的极值点一定是驻点

B. 如果函数f(x)在x处的二阶导数为0，则在该点的一

0阶导数也必为0

C. 函数的拐点就是二阶导数为0的点

D. 如果函数f(x)在区间(a,b)内的二阶导数大于0，则

f(x)在区间(a,b)内至多有一个极值点。

ey7．函数x21的渐近线的条数是

A.2 B. 3 C. 4 D. 5

三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1．

x0x1xlim1(sinncosn)nn2 2．

1lim12x02xx2

3.lim1lnsinx

x2x

四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.）

1．y1 lnx 2．yx 3.

cscxyxxx

五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 已知f(x)在x0的某个邻域内有定义且在这一点存在导数f'(0)1，a,b为已知常数，试求极限limf(ax)f(bx)。

x0x六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 已知21exy，求dy。 xy七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 求函数yxlnx的n阶导数。

八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 求函数yxe的拐点及凹向区间。

x九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 已知某厂商生产某产品的固定成本为100元，单位变动成本为1元，市场对该产品的需求函数为

Q10000p2,

并假定生产和销售这种产品的厂商只有这一家。试求：

（1） 市场对该产品的需求价格弹性以及实现厂商

利润最大化的产量与销售价格；

（2） 若政府出台新的税收政策，对每1单位产品征

收1元的产品税，求在新的税收政策下实现厂商利润最大化的产量与销售价格。

十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.） 已知函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且存在相等的最大值，并且f(a)g(a), f(b)g(b)。试证： （1） 存在(a,b)使得f()g()； （2） 存在(a,b)使得f''()g''()。 答案

一、填空题（每小题2分，共14分） 1．-22．0

1-x 3x33．1 4．不存在 5．

x6．7．

y2xylny

x2xylnx1lnpC

二、单项选择题（每小题2分，共14分）

1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.D 7.C

三、求极限（请写出主要计算步骤及结果，每小题4分，共12分.） 1．lim1nn20, sinncosn2, (2分)

lim1(sinncosn)0 nn2 (4分)

2．

22x211x21lim12limexpln12explimln12 22xx022xx0x02xx2

（1分）

221111explimln1texplimlnt1t2t2tt2 （2分）

1112t12exp(0)1explimt1

（4分） 3. （2分）

limsinxxcosx1limx0x0x33x2limx01sinx1sinxx1sinxx lnlimln1limx0222x0xxxxxx

（3分）

2sin2limx0x21.3x26

（4分）

四、求导数（请写出主要计算步骤及结果，每小题4

分，共12分.） 1．

y'1lnx 2'（2分）

1xlnx2（4分）

2．两边取对数，得

lnycscxlnx

两边对x求导数，得

y'ycscxcotxlnx1xcscx, 分） 得

y'xcscx1cscxcotxlnxxcscx.

lnx 1分）

（2

（4

（ 分） 3. y'1xxx

'2xxx（2分）

11 2xxx1xx'2xx 分）

111 2xxx2xx112x 分）

五、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解：由导数的定义，得

limf(ax)f(bx)f(ax)f(0)f(bx)f(0)x0xlimx0x（3分）

alimf(ax)f(0)f(bxx0axblim)f(0)x0bx3

4

（（

（6分）

af'(0)bf'(0)ab.

（8分）

六、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解：方程两边取对数，得

11lnxlnyxy2, 22 （3分）

两边取微分，得

1dx1dyy2dx2xydy, 2x2y （6分）

解得

y2xydydx （8分） 4xyx322

七、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解（2分）

：

y'x

y''1lnx''1,x

（4分）

y(n)1x(n2)(1)(n2)(n2)!. n1x （8分）

八、（请写出主要计算步骤及结果，共8分.） 解（3分） 令y''0解得

x12, x2=2,：

(xexy'(xexx1x1x1)xexy,不存在 )xexx,xx,

（4分）

当x(,2)时y''0，图像下凹； 当x(2,0)时y''0，图像上凹； 当x(0,2)时y''0，图像下凹； 当

x(2,)时

y''0，图像上凹；

（6分）

函数的拐点为

(2,2e2), (2,2e2), (0,0).

（8分）

九、应用题（请写出主要计算步骤及结果，共8分.）

解：（1）需求价格弹性为：（1分） 总利润函数为

L(Q)R(Q)C(Q)Qp(Q)C(Q)100Q1/2100Q

EQQ'(p)p2 EpQ(p)

（2

分）

L'(Q)50Q1/21, L''(Q)503/2Q, 2

由L'(Q)0解得

Q02500

（3分）

且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为

p02.

（4分）

（2）新的税收政策出台后厂商的总利润函数为

L(Q)R(Q)C(Q)T100Q1/21002Q

（5）

L'(Q)50Q1/22, L''(Q)503/2Q, 2由L'(Q)0解得

Q1625

（7分）

且在这一点处的二阶导数值小于0，因此这一点是极大值点，也是最大值点，此时的价格为

p14.

（8分）

十、证明题（请写出推理步骤及结果，8分.） （1）.证明：设M是f(x)与g(x)共有的最大值，并设f(x)在x(a,b)处取得最大值M，g(x)在x12(a,b)处取得最大值

M，令(x)f(x)g(x)，则

(x1)0, (x2)0.（2分） 如果x设x11x2，则令x1便有f()g()M。如果x1x2，不妨

则由连续函数的性质，存在[x1,x2]使得()0，x2，

即f()g()。 （4分）

（2）由题设，(a)(b)0，又在（1）小题中已经证明存在使得()0，因此由罗尔中值定理，存在

1(a,), 2(,b)使得

f'(1)f'(2)0,

（6分）

再次利用罗尔中值定理，存在（8分）

(1,2)使得

f''()0。