（一）含有1．
axb的积分(a
b
＝
0)
C
1
dxax(axxaxxax
2
1a
lnaxb1
2．
b)dx＝
1a
2
a((ax121b
1)b
(axb)C（
1）
3．
b
dx＝blnax
2
b)C
2
4．
bdx
dx＝
1a
3
(axb)2b(axb)blnaxbC
5．
x(ax
dxx(ax
x(ax
x(ax
22
b)
＝
ln
axxab
2
b
C
6．
b)
＝
1bx1a
2
ln
axxb
b
C
7．
b)
＝2dx
(lnax
bax
b
)C
2
8．
b)dx
2
dx＝
1a
3
(axb2blnaxb
baxC
b
)C
9．
x(axb)
2
＝
1b(ax
b)
1b
2
ln
axx
b
（二）含有10．11．12．
axb的积分23a215a
2
2
axxaxx
2
bdx＝
(axb)
3
C2b)(ax
2
2
bdx＝
(3ax
3
b)
3
C
2
axx
bdx＝dx＝
105a
2
(15ax12abx8b)(axb)
3
C
13．
23a
axxax
2
b
(ax2b)axbC
14．
b
dx＝
215a
3
(3ax
22
4abx8b)ax
2
bC
1
bb15．
dxbln
axaxb
b
C(b0)xax
b
＝
2
b
b
arctan
axbC
(b
0)
16．
dxba
dx
x
2
axb
＝
axbx
2bxaxb
17．
axb
dx＝2ax
b
b
dxxxax
b
18．
axb
x
2
dx＝
axbadxx
2xaxb
（三）含有x2
a2
的积分
19．
dx1x
2
a
2
=
a
arctan
xa
C20．
dxx
2n
dx(x
2
a2)
n
=
3
2(n1)a2
(x2
a2)
n1
2(n1)a2
(x
2
a2)
n1
21．
dxxax
2
a
2
=
12a
lnx
a
C
（四）含有ax
2
b(a0)的积分
1
22abarctana
C(b0)．
dxbx
ax
2
b
＝
1axb2
abln
ax
b
C
(b
0)
23．
x2
ax
2
b
dx＝
12alnaxbC
2
24．
xxbdxax
2
bdx＝
aaax
2
b2
25．
dx
1
x(ax
2
b)
＝
ln
x2b
ax
2
b
C
26．
dxadxx2
(ax
2
b)
＝
1bx
b
ax
2
b
欢迎下载
—
2
2
27．
dxax1
x3
(ax
2
b)＝a
b2b2lnx
22bx
2C
28．
dx＝
x1dx(ax
2
b)
2
2b(ax
2
b)
2b
ax
2
b
（五）含有ax2
bxc(a
0)的积分
2
2axbCb
2
arctan4acb229．
dx4ac
ax
2
bx
c
＝
12axbb24acCb
2
ln4ac
2axbb
2
4ac30．
x＝
12a
lnax
2
bx
c
bdxax
2
bxc
dx2a
ax
2
bx
c
（六）含有
x
2
a2
(a0)的积分
31．
dx
x
2
2
＝arshx
aCa
1＝ln(x
x
2
a2
)C
32．
dx＝
x
(x
2
a2)
3
a
2
x
2
a
2
C
33．
xx＝x2
a2
C
x
2
a
2
d34．
x(x
2
a2)
3
dx＝
1C
x
2
a
2
2
2
35．
xx＝
x22
x
2
a
2
d2
xa
a
2
ln(xx
2
a2
)
C
36．
x
2
x
(x
2
dx＝
ln(xx
2
a2
)
C
a2)
3
x
2
a2
37．
dx1x
2
a2
xx
2
a
2
＝
a
aln
x
C
38．
dxx
2a
2
C
x
2
x
2
a
2
＝
a2
x2
2
x2
2
a
2
39．
xadx＝2
xa
2
2
ln(xx
a2
)
C
欢迎下载
(b
2
4ac)
(b
2
4ac)
—
3
—
40．41．
(x
2
a)dx＝adx＝
2
22
23
x8
(2x(x
2
2
5a)xa)
23
22
a
2
38
aln(x
4
x
2
a)
2
C
xx
2
2
13xC
2
2
42．
xx
adx＝
(2x
2
a)x
2
a
a
4
ln(xx
2
a)
2
C
88
2
2
2
2
43．
xax
dx＝x
2
a
2
aln
xaa
x
C
44．
x
2
a
2
x
2
a2
2
x
2
dx＝
x
ln(xx
a2
)
C
（七）含有
x2
a2
(a0)的积分
45．
dxx=lnx
x
2
a
2
C
x
2
2
＝x
xarchCa
a146．
dx＝
x
(x
2
a2)
3
a
2
x
2
a
2
C
47．
xdx＝x
2
a
2
C
x
2
a
2
48．
x(x
2
a2)
3
dx＝
1x2
a
2
C
2
2
49．
xx＝
x2
x
2
a
2
a
x
2
a
2
d2
lnxx
2
a
2
C
50．
x
2
x＝
x
lnxx
2
a
2
C
(x
2
a2)
3
dx
2
a
2
51．
dx＝
1axx
2
a
2
aarccos
x
C
2
52．
dxa
C
x
2
x
2
a
2
＝
x
2a2
x2
53．
x2
a2
dx＝
xx2
a
2
a
2
2
2
lnx
x
a2
C
54．(x2
a2)3
dx＝x(2x2
5a2
)x2
a2
38
8
a4
lnx
55．
xx
2
a2
dx＝
13
(x
2
a2)
3
C
欢迎下载
x2
a2
C
4
56．
x
2
x
2
a2
dx＝
x28(2x
2
a)x
2
a
2
a
4
8lnxx
2
a
2
C
2
2
57．
xax
dx＝
x
2
a
2
aarccos
ax
C
58．
x
2
a
2
＝
x
2
a2
2
x
2
dxx
lnxxa
2
C
（八）含有
a
2
x2
(a
0)的积分
59．
dx
＝arcsin
xa
2
x
2
a
C
60．
dxx
(a
2
x2)
3
＝
a
2
a
2
x
2
C
61．
xx＝a
2
x
2
C
a
2
x
2
d62．
x1
(a
2
x2)
3
dx＝
a2
C
x
2
2
2
63．
xx2
a
2
x
2
dx＝2
ax
2
a
2
arcsin
xaC
64．
x
2
dx＝x2
arcsin
xC
(a
2
x2
)
3
ax2
a
65．
dxa
a
2
x
2
xa
2
x
2
＝
1a
ln
xC
66．
dx＝
a
2x
2
x
2
a
2
x
2
a2
xC
2
x2
dx＝
x2
67．
aa2
x
2
a
x2
2
arcsin
aC68．(a2
x2)3
dx＝x8(5a2
2x2
)a
2
x
2
3a4
8
arcsin
xa
C
69．
xa
2
x2
dx＝
13(a
2
x2)
3
C
70．
x2
a2
x2dx＝x8
(2x2
a2
)a2
x
2
a
4
8
arcsin
xa
C
欢迎下载
—
5
2
2
71．
a
2
xx
dx＝
a
2
x
2
aln
aa
x
2
xC
72．
a
2
x
2
a
2
x2
xx
2
dx＝
x
arcsina
C
（九）含有
ax
2
bxc(a
0)的积分
73．
dx
2
＝
1ln2ax
b
2aax
2
bxcC
ax
bxca
74．
ax
2
bx
cdx＝
2axb
2
4a
ax
bxc
4acb2
ax2
8a
3
ln2axb2abxcC
75．
xdx＝
12
ax
2
bxc
a
ax
bxc
bln2axb2aax
2
bxcC
2a
3
76．
dx2axbcbxax
2
＝
1a
arcsin
b
2
C
4ac
2
77．
c
bx
ax2
dx＝
2axb
2
4ac
2axb4a
c
bxax
b8a
3
arcsin
b
2
4ac
C
78．
x12
b
2axb
2
dx＝a
c
bx
ax
C
c
bx
ax2a
3
arcsin
b
2
4ac
（十）含有
xaxb
或
(xa)(bx)的积分
79．
xaxbdx＝(xb)
xaxb(ba)ln(
xax
b)
C
80．
xadx＝(xb)xab
x
b
x
(ba)arcsin
xab
xC
81．
dx(x
a)(b
x)
＝2arcsin
xabx
C
(a
b)
82．
(xa)(bx)dx＝
2xab
a)
2
xa4
(xa)(bx)
(b4
arcsin
b
x
C
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—
6
(a
b)
（十一）含有三角函数的积分83．sinxdx＝cosxC
84．cosxdx＝sinxC
85．tanxdx＝
lncosx
C86．
cotxdx＝lnsinxC
87．
secxdx＝lntan(
x4
2)
C＝lnsecx
tanxC
88．
cscxdx＝lntan
x2
C＝lncscxcotxC
89．sec2
xdx＝tanxC90．csc2
xdx＝
cotx
C91．secxtanxdx＝secxC92．cscxcotxdx＝cscx
C
93．sin2
xdx＝x124sin2xC94．cos2xdx＝x124sin2x
C
95．sinnxdx＝1sinn1
n1nxcosxnsinn2
xdx
96．cosnxdx＝11
n1n
cosnxsinx
n2
ncos
xdx
97．dx＝1
cosx
n2
dx
sinnxn1sinn1
xn1sinn2
x98．dxcosnx
＝
1sinxn2dxn
1cos
n1
xn1cos
n2
x99．
cosmxsinn
xdx＝
1n
cos
m1
m1m2
n
m
xsin
n1
x
mncosxsinxdx
＝
1
xsinn1
x
n1mn
cosm
xsin
n2
mncos
m1
xdx
100．
sinaxcosbxdx＝
1
12(ab)
cos(ab)x2(a
b)cos(ab)xC
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—
7
—
101．
sinaxsinbxdx＝
12(ab)
sin(ab)x
12(ab)
sin(ab)xC
102．
cosaxcosbxdx＝12(a
b)sin(ab)x12(a
b)sin(ab)xC
103．
dx2atanxa
bsinx
＝
2b
a2b2arctana2b2C(a
2
b2
)
x
1atan
2b2
a2
104．
dxba
bsinx
＝
C
(a
2
b2
)
b2a2
lnatanx2
b
b
2
a
2
105．
dx2abab
x
a
bcosx
＝
a
b
a
barctan(
a
btan2
)C
(a
2
b2
)
ab106．
dx1abtan
x
2baa
bcosx＝abbalntan
x
abC(a
2
b2
)
2
b
a
107．
dx
1a2
cos2
x
b2sin2
x
＝
abarctan(
ba
tanx)
C
108．
dx
1
aa2
cos2
x
b2
sin2
x＝
2abln
btanxbtanx
a
C
109．xsinaxdx＝
1a
2
sinax1a
xcosax
C
110．x2
sinaxdx＝1x2
cosax
2a
a
2
xsinax
2a
3
cosaxC
111．xcosaxdx＝
11a2
cosaxa
xsinaxC
112．
x2
cosaxdx＝12
2a
xsinax
a2
xcosax
2a
3
sinaxC
（十二）含有反三角函数的积分（其中a
0）
113．
arcsin
xdx＝xarcsinxa
2
2
a
axC114．
xarcsinxdx＝(
x
2
a
2
x2
2
a
24
)arcsin
xa4
axC
115．
x2
arcsinxx
3
x1adx＝3arcsin
a9(x
2
2a2)a
2
x
2
C
116．
arccosx
dx＝x
axarccosa
a
2
x
2
C
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8
117．
xarccosxx
2
a
2
x2
adx＝(
24
)arccos
xa4
a
x
2
C
3
118．
x2
arccos
x2a
dx＝
x
3
arccosx1a
9(x
2
2a)a
2
x
2
C
119．arctanxdx＝xarctanxa2
a
a
2
ln(a
x2
)C120．
xarctanx2
aadx＝
12
x)arctanx2(a
a
2x
C
3．
x2
arctan
xdx＝
x
xa2
a
3
1212
2
a3
arctana
6
x
6
ln(ax)C
（十三）含有指数函数的积分122．
ax
dx＝
1
lnaa
x
C
123．eax
dx＝1axaeC
124．xeaxdx＝1ax
a
2(ax1)eC
125．xneaxdx＝1axneaxna
xn1eaxdx126．
xax
dx＝
xx
1x
lnaa
(lna)
2
a
C
127．xn
ax
dx＝
1
n
x
nn1
x
lna
xa
lna
xadx
128．eax
sinbxdx＝1ax
a
2
b2
e(asinbxbcosbx)C129．eax
cosbxdx＝
1
b
2
eax
a
2
(bsinbxacosbx)C130．
eaxsinn
bxdx＝
1
a
2
b2n
2
eax
sin
n1
bx(asinbx
nbcosbx)
n(n1)b2axa
2
b2n2
esin
n2
bxdx
131．
eaxcosn
bxdx＝
1
ax
n1
a
2
b2
n
2
ecos
bx(acosbx
nbsinbx)
n(n1)b2
ax
n2
a
2
b2n
2
ecosbxdx
（十四）含有对数函数的积分132．lnxdx＝xlnxxC
133．
dxxlnx
＝ln
lnx
C
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—
9
134．xn
lnxdx＝
1n
1
x
n1
(lnx
1n
1)C
135．(lnx)n
dx＝x(lnx)n
n(lnx)n1
dx
136．
xm
(lnx)n
dx＝
1mm1
x
m1
(lnx)
n
nm1
x(lnx)
n1
dx
（十五）含有双曲函数的积分137．shxdx＝chxC138．chxdx＝shxC139．thxdx＝lnchxC
140．sh2
xdx＝x124sh2x
C141．
ch2xdx＝
x12
4sh2x
C
（十六）定积分142．cosnxdx＝
sinnxdx＝0
143．
cosmxsinnxdx＝0
144．
cosmxcosnxdx＝
0,mn,mn145．
sinmxsinnxdx＝
0,mn,m
n
0,
mn146．
0
sinmxsinnxdx＝
0
cosmxcosnxdx＝
2
,m
n
147．I2n
n
n＝
0
sin
xdx＝
20
cosxdx
In1n＝nIn
2
In1n3
nn
n2L4253（n为大于1的正奇数），In1n331n
n
n
2
L
422
（n为正偶数），I0＝
2
欢迎下载
1＝1 —
10
I—
换元积分法
一、第一换元积分法(凑微分法)
.
二、常用凑微分公式
注: 以上使用的多为三角代换
, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下a) 可令b) 可令c)
可令
当有理分式函数中分母的阶较高时
, 常采用倒代换.
三、第二换元积分法
,
例题：
凑微分法
例1求不定积分
.
例2 求不定分例3计算不定积分.
例4 计算不定积分例5求不定积分.
例6 求下列不定积分
欢迎下载
当被积函数中含有
11
: (1) (2) 例7 求下列不定积分:
(1) ; (2) 例8 求下列不定积分:
(1) ; (2)
例9求不定积分
.
例10 求下列不定积分:
(1) ; (2) 例11求下列不定积分
(1)
(2)
例12求不定积分.
例13求不定积分
.
例14求下列不定积分: (1) (2) 例15 求下列不定积分:
(1) (2)
例16求不定积分. 例17求
. 例18 用换元法求不定积分
例19 试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分例21求不定积分
.
例22 求不定积分第二换元法
例23求不定积分
例24求不定积分
欢迎下载
—
12
例25计算.
例26 求不定积分
例27求不定积分
例28求不定积分.
例29求不定积分
例30求不定积分.
例31求不定积分.
练习：求下列不定积分
2.设, 求
欢迎下载
—
13
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