北京大学学第精编学期高等数学A期末考试试卷

2016~2017学年第2学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号姓名年级专业 题号 得分 评阅人 一 二 三 四 总分 得分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．二元函数zln(y22x1)的定义域为。

rrrrrrr2.设向量a(2,1,2)，b(4,1,10)，cba，且ac，则。 3．经过(4,0,2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。 4．设uxyz，则du。 5．级数(1)nn11，当p满足条件时级数条件收敛。 np得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2(xyx)y'y的通解是（）

A．yCe2xB．y2Ce2x C．y2e2yCxD．e2yCxy 2．求极限

A．

2xy4（）

(x,y)(0,0)xylim1111B．C．D．

22443．直线L:xyz和平面:3x2y7z80的位置关系是（） 327A．直线L平行于平面B．直线L在平面上 C．直线L垂直于平面D．直线L与平面斜交

4．D是闭区域{(x,y)|a2x2y2b2}，则x2y2d（）

D234333(ba3)C．(ba3)D．(ba3)

23325．下列级数收敛的是（） A．

(b3a3)B．

11n11A．B．2C．D．

3n(n1)n1(n1)(n4)2n1n1n1n1n11.5CM 得分 解。

2.计算二重积分D三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程y'yex满足初始条件x0，y2的特

xydxdy，其中D{(x,y)x2y21,xy1}。 22xyzz。 xy3．设zz(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y3z确定的隐函数，求

4.求曲线积分(xy)dx(xy)dy，其中L沿x2y2a2(x0,y0)，逆时针方

L向。

5.计算y51x2y6dxdy，其中D是由y3x，x1及y1所围成的区域。

D(1)nn16．判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 nn1n17．将函数

1.5CM 1展开成x的幂级数，并求其成立的区间。

(1x)(2x)得分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 1．抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求原

点到这椭圆的最长与最短距离。

(1)nnxn2.求幂级数的和函数。

(n1)!n13. 设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)1，g(0)0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知

Ñxydx[yf(x)g(x)]dyyg(x)d，

LD求f(x)和g(x)。

参考答案

1.5CM

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．{(x,y)|y22x10}2．3

3．9yz204．yzxyz1dxzxyzlnxdyyxyzlnxdz5．0p1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C2．C3．C4．B5．A

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.求微分方程y'yex满足初始条件x0，y2的特解。 解：先求y'y0的通解，得yCx1e………………2分

采用常数变易法，设yh(x)ex，得y'h'(x)exh(x)ex………3分 代入原方程得h'(x)exh(x)exh(x)exex………………4分

得h(x)12e2xC………………5分

故通解为y12exCex………………6分

将初始条件x0，y2带入得C3132，故特解为y2ex2ex…………7分

2.计算二重积分xyx2y2dxdy，其中D{(x,y):x2y21,xy1}。 D解：设xrcos,yrsin………………1分

则012,sincosr1………………3分

所以xy1rcosrsin22dxdyDxy20d12rdr………………5分 sincosr20(sincos1)d………………6分

42………………7分 3.设zz(x,y)为方程2sin(x2y3z)x4y3z确定的隐函数，求zxzy。解：设F(x,y,z)x4y3z2sin(x2y3z)………………1分

Fx12cos(x2y3z),Fy44cos(x2y3z),Fz36cos(x2y3z)………………4分

FFz2cos(x2y3z)1z4cos(x2y3z)4……6分 x,yxFz3[12cos(x2y3z)]yFz3[12cos(x2y3z)]所以

zz1………………7分 xy4.求曲线积分(xy)dx(xy)dy，其中L沿x2y2a2(x0,y0)，逆时针方

L向。

解：圆的参数方程为：xacost,yasint(0t2)……………1分

(xy)dx(xy)dyL20(acostasint)dacost2(acostasint)dasint……3分

0a220(cos2tsin2t)dt………………4分

a22[sin2tcos2t]0………………6分 2a2………………7分

（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）

5.计算y51x2y6dxdy，其中D是由y3x，x1及y1所围成的区域。

D解：D{(x,y)|3xy1,1x1}………………1分

yD51xydxdydx3y51x2y6dy………………2分

1x261131212621[(1xy)]3xdx………………4分

63111(|x|31)dx………………5分

9121(x31)dx………………6分

901………………7分 6(1)nn16.判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n1nn1(1)nn1n1解：………………1分 n1nn1n1.5CM

:1n(n)………………3分 所以级数发散。………………4分 又

(1)nnn11n(1)n(111n1)n………………5分 (1)n(1)n1n(n1)n………………6分 (1)n(1)n显然，交错级数，都收敛，所以原级数收敛。因此是条件n1nn1(n1)n收敛。………………7分 7. 将函数

1(1x)(2x)展开成x的幂级数，并求其成立的区间。

解：

1(1x)(2x)11x12x………………2分

而

11xxn,|x|1………………3分 n012x12[1x2(x2)2L](|x|2)………………4分 所以

1(1x)(2x)1xx2L12[1x2(x2)2L]………………5分

(11n02n1)xn………………6分 成立范围|x|1………………7分

四、 解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

1.抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x,y,z)，P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2y2z2，………………1分 构造拉格朗日函数

Fx2y2z2(x2y2z)(xyz1)………………2分

Fx2x2x0F2y2y0yF2z0………………4分 zFx2y2z0Fxyz101解得x(13)………………5分

213131313(,,23),P(,,23) 得两个驻点为P1222222222…………………6分

所以最短距离为953，最短距离为953………………7分

(1)nnxn2.求幂级数的和函数。

n1(n1)!xn(1)nxnx解：因为e，所以e，………………1分

n!n!n0n0x(1)nnxn(1)n(n11)xnS(x)………………2分

(n1)!n0(n1)!n0(1)nxn(1)nxn………………3分

n!(n1)!n0n0(1)nxnex………………4分 n!n0(1)nxn1(1)nxn11(1)n1xn1(n1)!x(n1)!xn0(n1)!n0n01(1)nxn1(1)nxn1(x0)…………5分

xn1n!xn0n!11(1)nxn11xexxn0n!xx所以

1故S(x)ex(1ex)x(x0)……6分

当x0时，S(x)0。………7分

另解：

(1)nnxn1(1)nnxn11(1)nxnxdx 当x0时，0(n1)!x(n1)!x(n1)!n1n1n1当x0时，S(x)0。

3.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0)1，g(0)0，L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D，已知

Ñxydx[yf(x)g(x)]dyyg(x)d，

LD求f(x)和g(x)。 解：由格林公式得

[yf'(x)g'(x)x]dxdyyg(x)dxdy………………2分

DD即[yf'(x)g'(x)xyg(x)]dxdy0………………3分

D由于区域的任意性，yf'(x)g'(x)xyg(x)0………………4分 又由于y的任意性，有f'(x)g(x)，g'(x)x……………5分

x2又由f(0)1，g(0)0得，g(x)………………6分

2x3所以f(x)1………………7分

6