【初中数学】人教版八年级上册思维特训（一） 三角形高线与角平分线的夹角探究(练习题)

人教版八年级上册思维特训（一） 三角形高线与角

平分线的夹角探究(348)

1.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵=70∘，∠𝐶=30∘.

(1)求∠𝐵𝐴𝐸的度数． (2)求∠𝐷𝐴𝐸的度数．

(3)探究：小明认为如果只知道∠𝐵−∠𝐶=40∘，也可以得出∠𝐷𝐴𝐸的度数，你认为可以吗？若可以，请你写出解答过程；若不可以，请说明理由．

𝐶𝐷，𝐶𝐸分别是△𝐴𝐵𝐶的高和角平分线，∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐵=𝛽(𝛼>𝛽)．2.如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，

(1)若∠𝐵𝐴𝐶=70∘，∠𝐵=40∘，求∠𝐷𝐶𝐸的度数；

(2)已知∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐵=𝛽(𝛼>𝛽)，则∠𝐷𝐶𝐸= (用含𝛼，𝛽的式子表示)； (3)若将△𝐴𝐵𝐶换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含𝛼，𝛽的式子表示∠𝐷𝐶𝐸的度数,并说明理由；

(4)如图③，若𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶外角∠𝐴𝐶𝐹的平分线，交𝐵𝐴延长线于点𝐸，且𝛼−𝛽=30∘，则∠𝐷𝐶𝐸= (直接写出结果)

3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵>∠𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．已知∠𝐵=65∘，

∠𝐷𝐴𝐸=20∘，则∠𝐶= ．

4.如图在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=38∘，∠𝐵=70∘，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐷𝑃⊥𝐶𝐸于点𝑃，则∠𝐶𝐷𝑃的度数为 ．

5.求解下列各题：

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(1)感知：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，∠𝐵=40∘，∠𝐶=70∘，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；

(2)探究：如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，若把(1)中的“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成“点𝐹在𝐷𝐴的延长线上，𝐹𝐸⊥𝐵𝐶”，其他条件不变，求∠𝐷𝐹𝐸的度数；

(3)拓展：如图③，若把(1)中的△𝐴𝐵𝐶变成四边形𝐴𝐵𝐸𝐶，分∠𝐵𝐸𝐶，其他条件不变， 猜测∠𝐷𝐴𝐸的度数是否变化，

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把“𝐴𝐸⊥𝐵𝐶”变成𝐸𝐴平请证明你的结论

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参考答案

1

(1)【答案】∵∠𝐵=70∘，∠𝐶=30∘， ∴∠𝐵𝐴𝐶=180∘−70∘−30∘=80∘. 又∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸=40∘

(2)【答案】∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐵=70∘， ∴∠𝐵𝐴𝐷=90∘−∠𝐵=90∘−70∘=20∘. 又∵∠𝐵𝐴𝐸=40∘， ∴∠𝐷𝐴𝐸=20∘

(3)【答案】可以． 解答过程如下： ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸=

180∘−∠𝐵−∠𝐶

2

．

∵∠𝐵𝐴𝐷=90∘−∠𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐷=

180∘−∠𝐵−∠𝐶

2

−(90∘−∠𝐵)=

∠𝐵−∠𝐶2

．

若∠𝐵−∠𝐶=40∘，则∠𝐷𝐴𝐸=20∘ 2

(1)【答案】解：∠𝐴𝐶𝐵

=180∘ −(∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵) =180∘−(70∘+40∘) =70∘．

因为𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线， 所以∠𝐴𝐶𝐸=2∠𝐴𝐶𝐵=35∘．

因为𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，所以∠𝐴𝐷𝐶=90∘， 所以∠𝐴𝐶𝐷=90∘−∠𝐵𝐴𝐶=20∘， 所以∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐷=35∘−20∘=15∘ (2)【答案】

𝛼−𝛽21

1

(3)【答案】解：∠𝐷𝐶𝐸=2(𝛼−𝛽)．理由如下：

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∠𝐴𝐶𝐵=180∘−(∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵)=180∘−(𝛼+𝛽)．

因为𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线， 所以∠𝐴𝐶𝐸=1

1

2∠𝐴𝐶𝐵=90∘−2(𝛼+𝛽)． 因为𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高， 所以∠𝐴𝐷𝐶=90∘，

所以∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶−90∘=𝛼−90∘， 所以∠𝐷𝐶𝐸

=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐴𝐶𝐷

=90∘−1

2(𝛼+𝛽)+𝛼−90∘

=1

2(𝛼−𝛽) (4)【答案】75∘

【解析】:如图，作∠𝐴𝐶𝐵的内角平分线𝐶𝐸′，则∠𝐷𝐶𝐸′

因为𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐹的平分线，

所以\\(\\angle ECE′ =\\angle ACE\\)′+∠𝐴𝐶𝐸

=1

1

2∠𝐴𝐶𝐵+2∠𝐴𝐶𝐹 =12(∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐹) =90∘，

所以∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐷𝐶𝐸′=90∘，

所以∠𝐷𝐶𝐸=90∘−∠𝐷𝐶𝐸′=90∘−15∘=75∘, 即∠𝐷𝐶𝐸的度数为75∘

3.【答案】:25∘

【解析】:易知∠𝐷𝐴𝐸=1

2(∠𝐵−∠𝐶)， 所以∠𝐶=∠𝐵−2∠𝐷𝐴𝐸． 已知∠𝐵=65∘，∠𝐷𝐴𝐸=20∘， 则∠𝐶=65∘−40∘=25∘

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=15∘．

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4.【答案】:74∘

【解析】:易知∠𝐷𝐶𝐸=2(∠𝐵−∠𝐴)=16∘．

∵𝐷𝑃⊥𝐶𝐸，

∴∠𝐶𝐷𝑃=90∘−∠𝐷𝐶𝐸=90∘−16∘=74∘

1

5

(1)【答案】解：∵∠𝐵=40∘，∠𝐶=70∘，

∴∠𝐵𝐴𝐶=70∘． ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=35∘， ∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷=75∘． ∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐵=90∘，

∴∠𝐷𝐴𝐸=90∘−∠𝐴𝐷𝐸=15∘．

(2)【答案】解：同(1)可得∠𝐴𝐷𝐸=75∘．

∵𝐹𝐸⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐸𝐵=90∘，

∴∠𝐷𝐹𝐸=90∘−∠𝐴𝐷𝐸=15∘．

(3)【答案】结论：∠𝐷𝐴𝐸的度数不变． 证明：∵𝐸𝐴平分∠𝐵𝐸𝐶，

∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐶，

∴∠𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐸． ∵∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐸， ∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐸，

∴∠𝐶+∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐸． ∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∴2∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐶−∠𝐵=30

∘

，

∴∠𝐷𝐴𝐸=15

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∘