天长市实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1x2,x1,31x的零点个数为（ ）1． 若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1

B．2

+

C．3

）

D．4

2． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或

D．3

取得最小值时，实数a的值是（

3． 已知a,b,c为ABC的三个角A,B,C所对的边，若3bcosCc(13cosB)，则sinC:sinA（

）

B．4︰3

C．3︰1

D．3︰2

A．2︰3

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．4． 已知直线 aA平面，直线b平面，则（ A．aAb 5． 若a=ln2，b=5

，c=

B．与异面

）

D．与无公共点

C．与相交

）

xdx，则a，b，c的大小关系（

A．a＜b＜cBB．b＜a＜cCC．b＜c＜aD．c＜b＜a6．

+（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（

C．a≠2D．a≠4

）

）

A．a≥2B．2≤a＜4或a＞47． 函数f（x﹣）=x2+A．8

B．9

C．11

，则f（3）=（ D．10

8． 如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

A．　

B．C．D．

9． 若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（

）

B．（﹣，+∞）

C．（0，+∞）

D．（﹣∞，﹣）

）

A．（﹣∞，）

2210．圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（

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A．

B．21

C．

21 2D．221）

11．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

12．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且a的取值范围是（ A．　　

）

B．D．

C．

，那么实数

二、填空题

13．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是　　　　　　；①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值；③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

14．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是　　．15．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________.【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB=　　．17．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是　　　　　　．18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．

2m （m∈R）在区间[1，e]上取得x三、解答题

19．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

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（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)1，a2，求ABC面积的最大值.220．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：（Ⅲ）当

为定值．

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

21．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：

赞同

男女合计

5030 80

反对 150 170320

合计200 200 400

（Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．

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n(adbc)2参考公式：K，(nabcd)(ab)(cd)(ac)(bd)222．（本小题满分12分）已知椭圆C的离心率为动点，且PAAPB的最小值为-2.

（1）求椭圆C的标准方程；

2，A、B分别为左、右顶点， F2为其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的2（2）若过左焦点F1的直线交椭圆C于M、N两点，求F2MAF2N的取值范围.

23．已知函数fxxbxalnx.

2（1）当函数fx在点1,f1处的切线方程为y5x50，求函数fx的解析式；（2）在（1）的条件下，若x0是函数fx的零点，且x0n,n1,nN，求的值；

*（3）当a1时，函数fx有两个零点x1,x2x1x2，且x0x1x2，求证：fx00．2第 4 页，共 19 页

24．（本小题满分12分）

x2y2112xy22设椭圆C:221(ab0)的离心率e，圆xy与直线1相切，O为坐标原

ab27ab点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q(4,0)任作一直线交椭圆C于M,N两点，记MQQN，若在线段MN上取一点R,使得MRRN，试判断当直线运动时，点R是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方

程；若不是，请说明理由.

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天长市实验中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】D【

解

析

】

考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

2． 【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，f′（a）=当减．∴当a=时，②当a＜0时，

+ +

取得最小值．=﹣（

）=﹣（

+

）=f（a），

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

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f′（a）=当递减．

﹣=﹣，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

+取得最小值．

+

取得最小值．

或时，

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

3． 【答案】C

【解析】由已知等式，得c3bcosC3ccosB，由正弦定理，得sinC3(sinBcosCsinCcosB)，则

sinC3sin(BC)3sinA，所以sinC:sinA3:1，故选C．

4． 【答案】D【解析】

试题分析：因为直线 aA平面，直线b平面，所以a//b或与异面，故选D.考点：平面的基本性质及推论.5． 【答案】C【解析】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即，，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．　

6． 【答案】B【解析】解：∵∴

，

+（a﹣4）0有意义，

解得2≤a＜4或a＞4．故选：B．　

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7． 【答案】C【解析】解：∵函数故选C．　

8． 【答案】D

【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立

，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

=

，∴f（3）=32+2=11．

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2解得﹣

≤k≤

，．

，

]．

有公共点，

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．　

9． 【答案】D

【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，

∵函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x2+x复合而成，

0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．

【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．　

10．【答案】B第 8 页，共 19 页

【解析】

试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半

22径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 111．【答案】D

【解析】解：∵“a2＞b2”既不能推出“a＞b”；反之，由“a＞b”也不能推出“a2＞b2”．∴“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D．　

12．【答案】A

【解析】解：设AB的中点为C，则因为

所以|OC|≥|AC|，因为|OC|=所以2（

，|AC|2=1﹣|OC|2，）2≥1，

，

所以a≤﹣1或a≥1，因为

＜1，所以﹣

＜a＜

，

，

所以实数a的取值范围是故选：A．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．　

二、填空题

13．【答案】　②③④　

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．

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故答案为：②③④．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．　

14．【答案】　（1，2）　．

【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），∴0＜a＜1，x＞0，若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），则

解得：1＜x＜2，故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．　

15．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解，∴a80a22，故填：22.16．【答案】　

【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c∴b=

，c=2a，

=

=

．

　．

222，

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．　

17．【答案】　（﹣4，）　．

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【解析】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，

根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4因此，点P的坐标为（﹣4，故答案为：（﹣4，

）．，

）．

【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．　

18．【答案】－3e【解析】f′（x）＝减，

当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；

若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－min＝f（－m）e，－

1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m＝－3e.

1mxm

＋＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递xx2x2

mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

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20．【答案】

【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为

（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．∴

，2a=4，解得a=2，c=1．

∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为

．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x（k≠0），P（x，y）．

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联立，化为，

∴|OP|2=x2+y2=∴

=

，同理可得|OQ|2=

+

=

，

为定值．

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．因此（III）当

=

为定值．=

定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则．

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．联立

，化为

，

=

=

=

，满足条件

∴|OP|2=x2+y2=同理可得|OQ|2=∴

化为（kk′）2=1，∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1．因此OP⊥OQ不一定成立．

=

，

，+

=

．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　

21．【答案】

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【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．

X的分布列为：XP0

1

2

3

X的数学期望为

5151519EX0123 ………………12分

282856568x2y2

1；（2）F2MAF2N[2,7).22．【答案】（1）42【解析】

52815281556156试

c2c21题解析：（1）根据题意知，即2，

a2a2a2b21，则a22b2，∴2a2设P(x,y)，∵PAAPB(ax,y)A(ax,y)，

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a2x212xayxa(xa2)，

222a22，∵axa，∴当x0时，(PAAPB)min222∴a4，则b2.

x2y2

1.∴椭圆C的方程为42222221111]

42k24(k21)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1x2，x1x2，2212k12k∵F2M(x12,y1)，F2N(x22,y2)，2∴F2MAF2Nx1x22(x1x2)2k(x12)(x22)(1k2)x1x2(2k22)(x1x2)2k224(k21)42k22(1k)A2(k1)A2k222212k12k97.

12k2121.∵12k1，∴0212k9[2,7).∴712k22第 15 页，共 19 页

综上知，F2MAF2N[2,7).

考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.

23．【答案】（1）fxxx6lnx；（2）n3；（3）证明见解析.

2【解析】

试

f'(1)2ba5b1a题解析： （1）f'(x)2xb，所以，f(1)1b0a6x∴函数f(x)的解析式为f(x)xx6lnx(x0)；

262x2x6（2）f(x)xx6lnxf'(x)2x1，

xx因为函数f(x)的定义域为x0，

(2x3)(x2)30x或x2，令f'(x)x2当x(0,2)时，f'(x)0，f(x)单调递减，

2当x(2,)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增，且函数f(x)的定义域为x0，

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（3）当a1时，函数f(x)xbxlnx，

22f(x1)x12bx1lnx10，f(x2)x2bx2lnx20，

lnx1lnx222(x1x2)．两式相减可得x1x2b(x1x2)lnx1lnx20，bx1x2xx11f'(x)2xb，f'(x0)2x0b，因为x012，

x0x2xx2lnx1lnx22(x1x2)所以f'(x0)212x1x2x1x2x221lnx2lnx12(x2x1)211x2x1lnxlnxln12x2x2x1x1x2x2x1x1x2x2x1x11x1x2(t1)设2t1，h(t)lnt，x1t114(t1)24t(t1)20，∴h'(t)222t(t1)t(t1)t(t1)所以h(t)在(1,)上为增函数，且h(1)0，∴h(t)0，又

10，所以f'(x0)0．

x2x1第 17 页，共 19 页

考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.

【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

x2y2

1；（2）点R在定直线x1上.24．【答案】（1）43【解析】

试

题解析：

abe21122122（1）由e，∴2，∴3a4b，又，22a427abx2y2

1.解得a2,b3，所以椭圆C的方程为43第 18 页，共 19 页

设点R的坐标为(x0,y0)，则由MRRN，得x0x1(x2x0)，

x4x11x2xx2x242xx4(x1x2)12解得x01x41(x1x2)811x2464k21232k2244又2x1x24(x1x2)2，

34k234k234k22x1x24(x1x2)32k224x1，(x1x2)88，从而022(x1x2)834k34k故点R在定直线x1上.

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.

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