南阳市一中2012年春期高三第九次周考--数学(理)

南阳市一中

2012年春期高三第九次周考

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．若复数

2bi12i232x1（其中i为虚数单位，b为实数）的实部与虚部互为相反数，则b等于

B．

23A．  C． 2 D． 2

2．不等式

1的解集为

A． 3,

3B． ,3

,BC3,ABC． 3,,1D． 1,3

6,则C=

3．在ABC中，A

A．

4或34 B．

34 C．

4 D．

6

4．若函数ylg(ax22x1)的定义域为R，则实数a的取值范围是

A． 0,1

1 B． 0,C． 0,1 D． 1,

5．设函数fxsin3xsin3x，则fx为

A．周期函数，最小正周期为

π3C．周期函数，最小正周期为2π

B．周期函数，最小正周期为D．非周期函数 2π3

y 6．已知函数yxfx的图象如右图所示（其中fx是函数fx的 导函数），下面四个图象中yfx的图象大致是

y y y 1 1 O 1 2 x 2 1 O 2 1 1 2 2 2 1 y 2 x x 2 1 O12 2 1O 1 x 2 2 x O1 2 rruuuruurruurr7．VABC中，点D在AB上，CD平分ACB．若CBa，CAb，a1，b2，则CDＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

（ ）

- 1 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

1r2r2r1r3r4r4r3rA． ab B． ab C． ab D． ab

333355558．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 （ ）

分数 人数

A．

5 20 4 10 3 30 B．

2 30 21051 10

C． 3

D．

853

x29．已知椭圆4y12交椭圆于P，则使得

A．

的焦点为1PF1PF20F,F2，在长轴

A1A2上任取一点M，过M作垂直于

A1A2的直线

的M点的概率为（ ）

22661 B． C． D． 3332

10．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体

ABCD的外接球的体积为（ ）

A．

12512π

125912531256B． C．π D．π

11．已知A2,0,B1,0两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO,其中O为原点，则P点的轨迹方程是（ ）

A1C1x2A．

B．

2yyyy24141(y0)(y0)

x122

E A F B1

C 2x2C．2x1D．

2(y0)(y0) B 2

12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，ABC90，E，F分别为AA1，

C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为（ ）

322233 A．

2 B．

2

C．2 D．2

- 2 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

1x13．设a0(sinx＋cosx)dx(ax)6，则二项式

展开式中含x项的系数是 。

0.5 0.5 214．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们

的面积比为1：4，类似地，在空间内若两个正四面体的 棱长的比为1：2，则它们的体积比为 。

15．某几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 。 1 16．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，

线段BF的延长线交椭圆C于点D，且BF3FD， 则椭圆C的离心率为 。 三．解答题：

17．（本小题满分12分）

已知等差数列an的前n项和为Sn，首项a1a(aR)， 公差d0，且a1,a2,a4成等比数列。

（1）求数列an的通项公式及Sn； （2）记An＝

1S1 主视图

1 左视图

俯视图

+

1S2+

1S3+…+

1Sn, Bn＝

1a1+

1a2+

1a22+… +

1a2n1，

当n≥2时，试比较An与Bn的大小。

18．（本小题满分12分）

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色

各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0．5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。

（1）求①号面需要更换的概率；

（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率； （3）写出的分布列，求的数学期望。

- 3 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

19．（本小题满分12分）

已知正方形ABCD的边长为2，ACBD=O，

将正方形ABCD沿对角线BD折起，使ACa，得到三棱锥ABCD，如图所示。 （1）当a=2时，求证：AO平面BCD； （2）当二面角ABDC的大小为120时， 求二面角ABCD的正切值。

20．（本小题满分12分）

如图，设抛物线C:yx2的焦点为F，动点P在直线l:xy20上

运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点． （1）求△APB的重心G的轨迹方程．

（2）证明∠PFA=∠PFB．

21．（本小题满分12分）

g(x)1sinxlnx,(0,),A y

B

F O P

x 已知函数1,上为增函数,在f(x)mxm1xlnx,mR 1,上为单调函数，求m的取值范围；

（1）求的值； （2）若f(x)g(x)在

h(x)2e（3）

设

1,e上至少存在一个x0,使得f(x0)g(x0)h(x0)成立，求m的范围。x，若在 - 4 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

选做题：请考生在第22．23．24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是

的中点，劣弧BC连结AD并延长与过点C的切线交于点

PCDEA22P，OD与BC相交于点E。 （1）求证：OEPDPA12AC；

（2）求证：

BDACOB

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

1xt2已知直线l的参数方程为（t为参数），若以平面直角坐标系xoy的O点为极

y23t22点，x轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为

2cos()。

4（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求AB的长。

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)2xaa．

（1）若不等式f(x)6的解集为x2x3，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围．

- 5 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

参

三．解答题：

17． 解：（1）由题意知(ad)2a(a3d)，d0解得da0anna，Sn（2）

1Sn2an(n1)2a

2an(n1)12121312a(1n1n1n11)) 2a1n1An(1n1n1（1 ）

11n121a12a2n121a2n1a12n1a,Bn1a2(10211212n21)1a2(1n2 )1当a0时，AnBn；当a0时，AnBn．

18解：（1）①号面需要更换的概率为PC5C5C52501212 ……3分

（2）根据重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为： P6（2）=C()()22261214C626215 …………6分

k （3）因为B(6，)，P(k)C6()22116k1k(),k0,1,2,3,4,5,6. 8分 2的分布列为：

 P 0 11 3322 153 51 155 3326 1 …………10分 E3,=100，E=100E=300 …………12分

19．（1）证明：根据题意，在AOC中，ACa2,AOCO2222，

所以ACAOCO,所以AOCO 2分 因为AC．BD是正方形ABCD的对角线，所以AOBD

因为BDCOO,CO平面BCD，BD平面BCD,所以AO平面BCD 4分

- 6 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

（2）解：由（1）知，COOD，以O为原点，OC， OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

O(0,0,0,),D(0,2,0),C(2,0,0),B(0,2,0)．

设A(x0,0,z0)(x00),则OA(x0,0,z0),OD(0,2,0). 6分

又设平面ABD的法向量为n(x1,y1,z1)，

x0x1z0z10nOA0则 ,即2y10nOD0所以y10,令x1z0,则z1x0所以n(z0,0,x0) 8分

因为平面BCD的一个法向量m(0,0,1,)且二面角A-BD-C的大小为120，

122所以|cosm,n||cos120|,得z03x0，因为AO22,所以x0z0222

解得x022,z062,所以A(22,0,62)。 9分

设平面ABC的法向量为l(x2,y2,z2),因为BA=（22,2,62）,BC(2,2，0)

26lBA0x2yz2022则,即 令x21,则y21,z2222x2y0lBC022所以l(1,1,3

3) 10分

设二面角A-BC-D的平面角为，

所以cos|cosl,m|311(3)2155 所以tan63

所以二面角A-BC-D的正切值为

63． 12分

220．解：（1）设切点A，B坐标分别为x0,x0和x1，x12x1x0，

切线AP的方程为：2x0xyx00；切线BP的方程为：2x1xyx10；

2x0x1xx12x0xPyPx00,x0x1) 由于P既在AP又在BP上，所以 解得xp2，P(0222x1xPyPx10ypx0x122所以△APB的重心G的坐标为xG

x0x1xp3- 7 -

xp，

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

yGy0y1yp3x0x1x0x1322x0x132x0x14xpyp32，

2所以yP3yG4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

x3y4x220，即y14x32x2．

xx1112201（2）方法1：因为FAx0，x0，FP，x0x1，FBx1，x1．

4244由于P点在抛物线外，则FP0． FPFAcos∠AFPFPFAx0x12121x0x0x1x044212x0x042FPx0x121x0x14，

FPFPFB同理有cos∠BFPFPFB121x1x0x1x144212x1x142FP1x0x14，

FP∠AFP∠PFB．

方法2：①当x1x00时，由于x1x0，不妨设x00，则y00，所以P点坐标为14x，

x1，0，2则P点到直线AF的距离为：d1x12；而直线BF的方程：y14x1x12即x1211xxyx10．所以P点到直线BF的距离为： 144d221x1x1x1424221xx114221x1x1x142 所以d1d2，即得∠AFP∠PFB．

122x141②当x1x00时，直线AF的方程：y14x02114x0，即x02xx0yx00， x0044直线BF的方程：y14x121114x0，即x12xx1yx10， x1044- 8 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

所以P点到直线AF的距离为：

121x0x12xxxx0001424212xx0042d1x0x121x0x0x124， 122x04同理可得到P点到直线BF的距离d21sinx2|x1x0|2，因此由d1d2，可得到∠AFP∠PFB．

sinx1sinx2g(x)1x21．解：（1）由题意，

0在1,上恒成立，即0 1分

(0,)sin0.故sinx10在1,上恒成立 2分 只须sin1,只有sin1,结合(0,)，得.2 3分

G（x）f(x)g(x)mxmxx）2lnx,G（2mx2xmx22（2）由（1）知，设

2 4分

（x）f(x)g(x)在其定义域内为单调函数mx2xm0或者mx2xm0在1, 又G上恒成立 5分

mx2xm0等价于m(1x)2x,即m222x1x22x1x,又2x1x1,m11）

分 2

mx2xm0等价于m(1x)2x,即m22…6）

2x1x2在1,恒成立,而2x1x20,1m0.

综上，m的取值范围是

,01,. 8分

mx2lnx2ex,当m0时,x1,e,mxmx0

（3）构造F(x)f(x)g(x)h(x)mx2lnx2ex0，所以在1,e上不存在一个x0，使得f(x0)g(x0)h(x0)成立。 9分

当m0时,F(x)mmx222x2ex2mx2xm2ex22 10分

x1,e2e2x0,mxm0F(x)0在1,e恒成立.故F(x)在1,e上单调递增.

- 9 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

F(x)maxF(e)meme4,只要meme40 解得m4em的取值范围是，.22e1e14e

12分

22． 证明：(1)AB是⊙O的直径ACB900

中点，由垂径定理得 即ACBC∵点D是劣弧BCPCDEAOBOD⊥BC∴OD//AC，又点O为AB中点∴

OE12 AC（2）连结CD

∵ＰＣ是⊙O的切线，∴∠PCD＝∠PAC 又∠P为公共角，故PCDPAC

CDPDCDPDCD的中点∴CD=BD∴PDBD BC∵点D是劣弧,,22PAACPCACPAPAACACPC22xtcos60023解：（1）直线l的参数方程可以化为，根据直线参数方程的意义可知，直线20tsin60y2l经过点(0,22)，倾斜角为60,直线l方程为6x02y10；

（2）直线的普通方程为(x22)(y222)1

2圆心为(22,22)到直线l的距离d22.AB2138102．

法二：把直线l的参数方程代入(x)(y222)21得t222t120,

t1t222,t1t2120ABt1t2(t1t2)4t1t22102．

- 10 -

河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

- 11 -