考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_真题

数学三试题之羊若含玉创作

一、填空题：1－6

小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题

中横线上.

n1（1）limnn1n______.

（2）设函数

f(x)在

x2的某邻域内可导,且

fxefx，

f21，则f2____.

（3）设函数f(u)可微,且f01,则zf4x2y2在点(1,2)处的

2全微分dz1,2_____.

（4）设矩阵A21，E12为2阶单位矩阵，矩阵B知足

BAB2E，则B.

（5）设随机变量X与Y相互自力，且均屈服区间0,3上的平均散布，则PmaxX,Y1_______.

（6）设总体X的概率密度为fx1exx,X1,X2,2,Xn为总体X的简略随机样本，其样本方差为S2，则ES2____. 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项相符题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为

自变量x在点x0处的增量，y与dy分离为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则

(A) 0dyy. (B) 0ydy.

(C) ydy0. (D) dyy0 . [ ]

（8）设函数fx在x0处持续，且limh0fh2h21，则

(A) f00且f0存在 (B) f01且f0存在 (C) f00且f0存在 (D)f01且f0存在 [ ] （9）若级数an收敛，则级数

n1(A) an收敛 . （B）(1)nan收敛.

n1n1(C) anan1收敛. (D) anan1收敛. [ ]

n1n12（10）设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个不合的解

y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是

（Ａ）Cy1(x)y2(x). （Ｂ）y1(x)Cy1(x)y2(x). （Ｃ）Cy1(x)y2(x). （Ｄ）y1(x)Cy1(x)y2(x) [ ] （11）设

f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0，已知

(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项

正确的是

(A) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (B) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (C) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

(D) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. [ ]

（12）设1,2,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项

正确的是

(A) (B)

若1,2,若1,2,,s线性相关，则A1,A2,,s线性相关，则A1,A2,,s线性无关，则A1,A2,,s,As线性相关. ,As线性无关. ,As线性相关.

,As(C) 若1,2,(D) 若1,2,[ ]

线性无关，则A1,A2,线性无关.

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将

B的第

1列的1倍加到第

1100102列得C，记P，则 001（Ａ）CP1AP. （Ｂ）CPAP1.

（Ｃ）CPTAP. （Ｄ）CPAPT. ［ ］ （14）设随机变量X屈服正态散布N(1,12)，Y屈服正态散布

2N(2,2)，且

则必有

(A) 12 (B) 12

(C) 12 (D) 12 [ ]

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明进程或演算步调. （15）（本题满分7分）

设fx,yyy,x0,y0,求 1xyarctanx1ysinxfx,y； (Ⅰ) gxylimgx. (Ⅱ) xlim0（16）（本题满分7分） 盘算二重积分Dy2xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所

围成的平面区域.

（17）（本题满分10分） 证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，持续曲线L过点M1,0，其上任意点

Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数

a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为8时，确定a3的值.

（19）（本题满分10分）

1x2n1求幂级数的收敛域及和函数s(x).

n1n2n1n1（20）（本题满分13分）

设

T4维

T向

T量

T组，问

11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3,44,4,4,4aa为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一

个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵

11,2,1,20,1,1TTA的各行元素之和均为3,向量

是线性方程组Ax0的两个解.

(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ；

3（Ⅲ）求A及AE26，其中E为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

12,1x01fXx,0x2，

40,　其他令YX2,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的散布函数. (Ⅰ)求Y的概率密度fYy； (Ⅱ)Cov(X,Y)；

1(Ⅲ)F,4. 2（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

其中是未知参数01，X1,X2...,Xn为来自总体X的简略随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估量； （Ⅱ）求的最大似然估量

2006年考研数学（三）真题解析

二、填空题：1－6

小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题

中横线上.

n1（1）limnn1n1.

【剖析】将其对数恒等化NelnN求解.

n1 【详解】limnn1nlimenn1lnn(1)nen1lim(1)nlnnn，

nn1n1n而数列(1)n有界，lim，所以ln0lim(1)ln0. nnnn1 故 limnn1ne01.

（2）设函数

f(x)在

x2的某邻域内可导,且

fxefx，

f21，则f22e3.

【剖析】应用复合函数求导即可.

【详解】由题设知，fxefx，双方对x求导得

fxefxf(x)e2fx，

双方再对x求导得 f(x)2e2fxf(x)2e3fx，又f21，

故 f(2)2e3f22e3.

（3）设函数f(u)可微,且f01,则zf4x2y2在点(1,2)处的

2全微分dz1,24dx2dy.

【剖析】应用二元函数的全微分公式或微分形式不变性盘算. 【详解】办法一：因为zx(1,2)f(4x2y2)8x(1,2)4，

zy(1,2)f(4x2y2)2y(1,2)2，

z 所以 dz1,2x1,2dxzydy4dx2dy. 1,2 办法二：对zf4x2y2微分得

dzf(4x2y2)d(4x2y2)f(4x2y2)8xdx2ydy，

故 dz1,2f(0)8dx2dy4dx2dy.

（4）设矩阵

21A，E12为2阶单位矩阵，矩阵B知足

BAB2E，则B 2 .

【剖析】 将矩阵方程改写为AXB或XAB或AXBC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行盘算即可.

【详解】 由题设，有 于是有 BAE4，而AE112，所以B2. 11（5）设随机变量X与Y相互自力，且均屈服区间0,3上的平均散布，则

PmaxX,Y11 . 9【剖析】 应用X与Y的自力性及散布盘算.

【详解】 由题设知，X与Y具有相同的概率密度

1,　　0x3. f(x)30,　　　其他则 PmaxX,Y1PX1,Y1PX1PY1

PX12111dx. 0392【评注】 本题属几何概型，也可如下盘算，如下图： 则 PmaxX,Y1PX1,Y12S阴1. S9,Xn（6）设总体X的概率密度为fx1exx,X1,X2,为总体X的简略随机样本，其样本方差为S2，则ES22. 【剖析】应用样本方差的性质ES2DX即可. 【详解】因为

EXxf(x)dxxxedx0， 22xex02exdx2ex002，

所以 DXEX2EX2202，又因S2是DX的无偏估量量， 所以 ES2DX2.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项相符题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为

自变量x在点x0处的增量，y与dy分离为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则

(A) 0dyy. (B) 0ydy.

(C) ydy0. (D) dyy0 . [ Ａ ]

【剖析】 题设条件有显著的几何意义，用图

示法求解. 【详解】 由

f(x)0,f(x)0知，函数f(x)单调增加，曲线

yf(x)凹向，作函数yf(x)的图形如右图所示，显然当x0时，

ydyf(x0)dxf(x0)x0，故应选(Ａ).

（8）设函数fx在x0处持续，且limh0fh2h21，则

(A) f00且f0存在 (B) f01且f0存在 (C) f00且f0存在 (D)f01且f0存在 [ C ] 【剖析】从limh0fh2h21入手盘算f(0)，应用导数的左右导数界

说剖断f(0),f(0)的存在性. 【详解】由limh0续，则

f(0)limf(x)limfh20.

x0h0fh2h21知，limfh20.又因为fx在x0处持

h0 令th2，则1limh0fh2h2limt0ftf(0)f(0).

t 所以f(0)存在，故本题选（C）. （9）若级数an收敛，则级数

n1(A) an收敛 . （B）(1)nan收敛.

n1n1(C) anan1收敛. (D) anan1收敛. [ Ｄ ]

n1n12【剖析】 可以通过举反例及级数的性质来剖断.

【详解】 由an收敛知an1收敛，所以级数anan1收

n1n1n12敛，故应选(Ｄ). 或应用消除法：

取an(1)n1，则可消除选项（Ａ），（Ｂ）；

n 取an(1)n1，则可消除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n（10）设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个不合的解

y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解是

（Ａ）Cy1(x)y2(x). （Ｂ）y1(x)Cy1(x)y2(x).

（Ｃ）Cy1(x)y2(x). （Ｄ）y1(x)Cy1(x)y2(x) [ Ｂ ] 【剖析】 应用一阶线性非齐次微分方程解的构造即可. 【详解】由于

y1(x)y2(x)是对应齐次线性微分方程

yP(x)y0的非零解，所以它的通解是 YCy1(x)y2(x)，故原

方程的通解为

yy1(x)Yy1(x)Cy1(x)y2(x)，故应选(Ｂ).

【评注】本题属根本题型，考核一阶线性非齐次微分方程解的构造：

yy*Y.

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解. （11）设

f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0，已知

(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项

正确的是

(A) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (B) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (C) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

(D) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. [ Ｄ ] 【剖析】 应用拉格朗日函数F(x,y,)(x0,y0,0)（0是对应x0,y0的参数f(x,y)(x,y)在

的值）取到极值的需要条件

即可.

【详解】 作拉格朗日函数F(x,y,)对应x0,y0的参数的值为0，则

F(x,y,)0f(x,y)(x,y)0x000x000x00， 即 . Fy(x0,y0,0)0fy(x0,y0)0y(x0,y0)0f(x,y)(x,y)，并记

消去0，得

fx(x0,y0)y(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0,

整理得 fx(x0,y0)1y(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0).（因为y(x,y)0），

若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.故选（Ｄ）. （12）设1,2,正确的是

(C) (D)

,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项

若1,2,若1,2,,s线性相关，则A1,A2,,s线性相关，则A1,A2,,s线性无关，则A1,A2,,s,As线性相关. ,As线性无关. ,As线性相关.

,As(C) 若1,2,(D) 若1,2,线性无关，则A1,A2,线性无关.

[ A ]

【剖析】 本题考核向量组的线性相关性问题，应用界说或性质进行剖断.

【详解】 记B(1,2,所以，若向量组1,2,,s)，则(A1,A2,,s,As)AB.

r(B)s线性相关，则，从而

r(AB)r(B)s，向量组A1,A2,,As也线性相关，故应选(Ａ).

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将

B的第

1列的1倍加到第

1100102列得C，记P，则 001（Ａ）CP1AP. （Ｂ）CPAP1.

（Ｃ）CPTAP. （Ｄ）CPAPT. ［ Ｂ ］

【剖析】应用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.

【详解】由题设可得

110110110110B010A,　　　CB010010A010，

0010010010011101010而 P1，则有CPAP.故应选（Ｂ）. 001（14）设随机变量X屈服正态散布N(1,12)，Y屈服正态散布

2N(2,2)，且

则必有

(B) 12 (B) 12

(C) 12 (D) 12 [ A ]

【剖析】 应用尺度正态散布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得

X1Y211PP，

2112 则 21111，即121.

1212 其中(x)是尺度正态散布的散布函数. 又(x)是单调不减函数，则

故选(A).

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明进程或演算步调. （15）（本题满分7分）

设fx,yyy,x0,y0,求 1xyarctanx1ysin1112，即12.

xfx,y； (Ⅰ) gxylimgx. (Ⅱ) xlim0【剖析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含

,0型未定式极限；第(Ⅱ)问需应用第(Ⅰ)问的成果，含未定式极限.

x1ysinyy fx,ylim 【详解】(Ⅰ) gxylimy1xyarctanxxsiny111ylimy1xarctanxy11x. xarctanxarctanxxx211x(Ⅱ) limgxlim （通分） limxx0x0x0arctanxxarctanx（16）（本题满分7分） 盘算二重积分Dy2xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所

围成的平面区域.

【剖析】画出积分域，将二重积分化为

累次积分即可.

【详解x的一次函数，“先x后y”积分

较容易，所以

（17）（本题满分10分） 证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

【剖析】 应用“参数变易法”构造帮助函数，再应用函数的单调性证明.

【

详

解

】

令

f(x)xsinx2cosxxasina2cosaa,0axb，

则 f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinx，且f()0. 又

f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，

（0x时,xsinx0），

故当0axb时，f(x)单调削减，即f(x)f(x)单调增加，于是f(b)f(a)0，即

bsinb2cosbbasina2cosaa.

f()0，则

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，持续曲线L过点M1,0，其上任意点

Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数

a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为8时，确定a3的值.

【剖析】(Ⅰ)应用导数的几何意义树立微分方程，并求解；(Ⅱ)应用定积分盘算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L的方程为yyf(x)，则由题设可得

y1ax，这是一阶线性微分方程，其中P(x),Q(x)ax，代xx入通解公式得

11dxxdxxyeaxedxCxaxCax2Cx，

又f(1)0，所以Ca.

故曲线L的方程为 yax2ax(x0). (Ⅱ) L与直线yax（a>0）所围成平面图

形如右图所示. 所以

a2xx2dx0248a， 33 故a2.

（19）（本题满分10分）

1x2n1求幂级数的收敛域及和函数s(x).

n2n1n1n1【剖析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法盘算；应用逐项求导或积分并联合已知函数的幂级数展开式盘算和函数.

(1)n1x2n1 【详解】记un(x)，则

n(2n1)(1)nx2n3u(x)2(n1)(2n1). limn1limxnu(x)n(1)n1x2n1nn(2n1) 所以当x21,即x级数发散；

1时，所给幂级数收敛；当x1时，所给幂

(1)n1(1)n当x1时，所给幂级数为，均收敛， ,n(2n1)n(2n1)故所给幂级数的收敛域为1,1

(1)n1x2n1(1)n1x2n在1,1内，s(x)2x2xs1(x)，

n1n(2n1)n1(2n1)2nn12n1(1)x1而 s1(x),s1(x)(1)n1x2n22n11x2n1n1，

所以 s1(x)s1(0)0s1(t)dt0于是 s1(x)arctanx.同理

tarctantx0xx1dtarctanx，又s1(0)0， 21tt12dtxarctanxln1x， 01t22x又 s1(0)0，所以 s1(x)xarctanx1ln1x2.

2故 s(x)2x2arctanxxln1x2.x1,1. 由于所给幂级数在

x1处都收敛，且

s(x)2x2arctanxxln1x2在x1 处都持续，所以s(x)在x1成立，即

s(x)2x2arctanxxln1x2，

x1,1.

（20）（本题满分13分）

设

T4维

T向

T量

T组，问

11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3,44,4,4,4aa为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一

个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

【剖析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组.

【详解】记以1,2,3,4为列向量的矩阵为A，则

1a23412a34A(10a)a3.

123a41234a 于是当 当

a0A0,即a0或a10时，1,2,3,4线性相关.

时，显然1是一个极大线性无关组，且

221,331,441；

当a10时，

92341834， A12741236923 由于此时

A有三阶非零行列式

1183400027，所以

1,2,3为极大线性无关组，且12340，即4123.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵

11,2,1,20,1,1TTA的各行元素之和均为3,向量

是线性方程组Ax0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QTAQ；

3（Ⅲ）求A及AE26，其中E为3阶单位矩阵.

【剖析】 由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组

Ax0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是

0特征值所

对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交

3矩阵Q；由QAQ可得到A和AE. 2T6【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以

131A1331， 131则由特征值和特征向量的界说知，3是矩阵A的特征值，(1,1,1)T3的全部特征向量为k，其中k为不为零的

常数.

又由题设知 A10,A20，即A101,A202，并且

1,2线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，1,2是

其对应的特征向量，对应

0的全部特征向量为

k11k22，其中k1,k2为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A是实对称矩阵，所以与1,2正交，所以只需将

1,2正交.

取 11，

1012,322211120. ,6111112再将,1,2单位化，得

11113621221,2,30， 3611211236令 Q1,2,3，则Q1QT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得

3.

QTAQ003，所以 0（Ⅲ）由(Ⅱ)知 QTAQ0AQQT1313131626161123310060112232613260131111. 11161111263E26323230032362326，

333T则AEQEQE.

222666（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

12,1x01fXx,0x2，

40,　其他令YX2,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的散布函数. (Ⅰ) 求Y的概率密度fYy； (Ⅱ) Cov(X,Y)；

1(Ⅲ) F,4. 2【剖析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求散布，然后求导得相应的概率密度或应用公式盘算.

【详解】 （I） 设

FY(y)P(Yy)P(X2y)，则

1) 2)

Y的散布函数为

FY(y)，即

当y0时，FY(y)0；

当0y1时， FY(y)P(X2y)P0y113dxdxy. y2044yXy

3)

当1y4时，FY(y)P(X2y)P1X0y

y1111dxdxy. 1204424)

当y4，FY(y)1.

所以

38y,0y11fY(y)FY(y),1y4.

8y0,其他（II） Cov(X,Y)Cov(X,X2)E(XEX)(X2EX2)EX3EXEX2，

222x0x2xx12而 EX1dx0dx，EX1dx0dx52442460，

32xx37EXdxdx，

1204830所以 Cov(X,Y)7152.

84631112(Ⅲ) F,4PX,Y4PX,X4 22212111dx. 24（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

其中是未知参数01，X1,X2...,Xn为来自总体X的简略随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估量； （Ⅱ）求的最大似然估量

【剖析】 应用矩估量法和最大似然估量法盘算. 【

详

解

】（

Ⅰ）因EXxf(x;)dx1xdx2x1dx3012，

令 32X，可得的矩估量为 32X. （Ⅱ）记似然函数为L()，则

L()111N(1)nN.

N个nN个 双方取对数得

lnL()Nln(nN)ln(1)，

令dlnL()NnNNd10，解得n为的最大似然估量.

为