立体几何截面和交线问题(原卷版)

第9讲 立体几何截面和交线问题

一．选择题（共13小题）

1．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1C1的中点，则过B，E，F三点的平面截该正方体，所得截面的周长为(

)

A．52 B．62 C．2213 D．2413 22M:(x2)y4，2．已知圆过点(1,1)的直线中被圆M截得的最短弦长为22，类比上述方法：设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

3．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM平面，且B平面，则平面截正方体所得截面的周长为(

)

A．3225 B．442 C．2225 D．62 4．正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为(

)

A．23 B．43 C．63 D．123

5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为(

)

33A．4

23B．3 32C．4 D．32

6．体积为183的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内

部，且R:BC2:3，点E为线段BD上一点，且DE2EB，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是(

)

A．[4，12] B．[8，16]

C．[8，12]

D．[12，16]

7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；

则的取值范围是( )

A．[2,2) B．[,2] C．{2} D．

[2,)2

8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB1，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为(

)

1A．4 B．24 C．34 D．1

9．设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(

)

A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个 D．有无数多个

10．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设APx，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f(x)，则函数f(x)的图象最有可能的是(

)

A． B．

C． D．

11．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与

正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )

5A．62B．37D．6 C．

12．已知三棱锥PABC的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于(

2A．35B．63D．23，以顶点P为球心2为半径作

)

C．

13．已知底面为正方形的四棱锥OABCD，各侧棱长都为23，底面面积为16，以O为球心，以2

为半径作一个球，则这个球与四棱锥OABCD相交部分的体积是(

2A．98B．916C．94D．3)

二．多选题（共2小题）

14．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是

(

)

A．点C1，D1到平面PMN的距离相等

B．PN与QM为异面直线

C．PNM90

D．平面PMN截该正方体的截面为正六边形

15．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱CC1的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有(

)

A．存在点G，使OD垂直于平面EFG

B．对于任意点G，OA//平面EFG

C．直线EF的被球O截得的弦长为2

D．过直线EF的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2

三．填空题（共17小题）

16．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCDA1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为 ．

17．如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为BC的中点，Q为线段CC1的中点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面的周长为

．

18．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，若AM平面，且B平面，则平面

截正方体所得截面的周长为 ．

19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ．

20．正方体ABCDA1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为 ．

21．已知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为 ．

22．球O为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，AB2，E，F分别为棱AD，CC1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 ．

23．如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N两点，设BPx，MNy，则函数y的序号，多选少选都不得分）

f(x)的图象大致是

．（在横线上填上正确

24．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2

为半径作一个球，则图中球面与

正方体的表面相交所得到的两段弧长之和(GFEF)等于 ．

25．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为体的表面相交所得到的曲线的长等于 ．

231，以顶点A为球心，3为半径作一个球，则球面与正方

26．已知正三棱锥PABC侧棱长为

231，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，3为半径作

一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为 ．

27．以棱长为2的正方体中心点O为球心，以r(1r干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是 ．

3)为半径的球面与正方体的表面相交得到若

28．正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，以其体对角线的交点O为球心，的交线长为 ．

213为半径的球与正方体表面

29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以4被正方体表面所截得的所有弧长的和为 ．

2为球的半径作球面，则该球面30．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，

Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①当

0CQ12时，S为四边形

②当

CQ12时，S为等腰梯形

③当

CQ31C1R14时，S与C1D1的交点R满足3

3CQ14④当时，S为四边形

⑤当CQ1时，S的面积为62

31．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，

Q的平面截该正方体所得的截面记为S，若

0CQ12，则S的面积取值范围是

．

32．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，

Q的平面截正方体所得的截面为S，当CQ1时，S的面积为 ．

四．解答题（共5小题）

33．如图，在正三棱锥ABCD中，BAC30，ABa，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、

DC、CA于点E、F、G、H．

（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由．

（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明．

1D1C14，点E、F、M分别是棱

34．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且

AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB4．

D1G（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l//A1B；

（Ⅱ）若直线B1D平面EFP．

(i)求三棱锥B1EFP的表面积；

(ii)试作出平面EGM与正方体ABCDA1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平

面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥QEFP的体积．

35．如图，在棱长都等于1的三棱锥ABCD中，F是AC上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC，AD，BD于E，G，H．

（1）证明截面EFGH是矩形；

（2）F在AC的什么位置时，截面面积最大，说明理由．

36．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BAC90，AA11，AB分别为棱CC1，BC的中点．

3，AC2，E，F

（1）求异面直线EF与A1B所成角的大小；

（2）若G为线段AA1的中点，试在图中作出过E，F，G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．

37．已知三棱锥ABCD中，ABC与BCD均为等腰直角三角形，且BAC90，BCCD6，E为AD上一点，且CE平面ABD．

（1）求证：ABCD；

BC，G，BD于F，H，（2）过E作一平面分别交AC，若四边形EFGH为平行四边形，求多面体ABEFGH的表面积．