教学辅导方案 教学内 容 圆知识点 1、 圆的相关概念 2、 弦、弧等与圆有关的定义 3、 垂径定理及其推论 4、 圆的对称性 1、 点和圆的位置关系 2、 圆周角定理及其推论 3、 直线与圆的位置关系 教学目 标 重点难 点 教 学 过 程 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 直径等于半径的2倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d
r点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件） 圆内接四边形对角互补。 考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交dr； 考点十、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边ABCD是内接四边形 DC ∴CBAD180 BD180 DAEC 考点十一、切线的性质与判定定理 B1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线EA是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 O2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 MNA以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 B考点十二、切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线O长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 P即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB；PO平分BPA A 考点十三、圆幂定理 1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积D相等。 OB即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， PA ∴PAPBPCPD C C推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径BAOE所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径ABCD， D ∴CE2AEBE 2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 A2 ∴ PAPCPB ED3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点O到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右PCB图）。 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE 考点十四、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的A的公共弦。 O2O1如图：O1O2垂直平分AB。 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 B ∴O1O2垂直平分AB 考点十五、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22； （2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半ACO2BO1径之和 考点十六、三角形的内切圆和外接圆 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十七、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rr） 两圆内含dr） 4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点十八、圆内正多边形的计算 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 3、正三角形 在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2； CB C OO O ADBEA ABD 4、正四边形 同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2： 5、正六边形 同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2. 考点十九、与正多边形有关的概念 A1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 OlS2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 B3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点二十、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 考点二十一、弧长和扇形面积 1、弧长公式 nrn°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l 1802、扇形面积公式 n1S扇R2lR 3602其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 1Sl2rrl 2其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。 考点二十二、内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 abc（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 21（3）S△ABC=r(abc)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 A D 2O （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 C B 1．如图5－1－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是( ) A．CM＝DM B.CB＝DB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD 课 堂 作 业 图5－1－13 A．40° B．50° C．60° D．70° 3．如图5－1－14，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝( ) 图5－1－12 2．如图5－1－13，AB，CD是⊙O的两条弦，连接AD，BC，若∠BAD＝60°，则∠BCD的度数 为( ) 图5－1－14 A．45° B. 60° C．90° D. 30° 4．已知：如图5－1－15，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为( ) A．45° B．35° C．25° D．20° 图5－1－15 5．如图5－1－16，已知BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( ) 图5－1－16 A．20° B．25° C．30° D．40° 6．如图5－1－17，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为( ) 图5－1－17 A．80° B．60° C．50° D．40° 7．如图5－1－18，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( ) A．35° B．45° C．55° D．75° 图5－1－18 8．如图5－1－19，点A，B，C在圆O上，∠A＝60°，则∠BOC＝______度． 图5－1－19 9．如图5－1－20，已知∠OCB＝20°，则∠A＝______度． 图5－1－20 10．如图5－1－21，四边形ABCD是圆的内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( ) 图5－1－21 A．115° B．105° C．100° D．95° 11．如图5－1－22，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0,3)，M是第三象限内OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为( ) A．6 B．5 C．3 D．3 2 图5－1－22 12．如图5－1－23，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12,EB＝2，则⊙O的直径 为( ) 图5－1－23 A. 8 B. 10 C．16 D．20 13．如图5－1－24，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为________． 图5－1－24 三级训练 14．如图5－1－26，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC. 图5－1－26 (1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论； (2)求证：PC是⊙O的切线． 15．(2012年广东梅州)如图5－1－25，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； 2(2)如果AD＝AE·AC，求证：CD＝CB. 图5－1－25 课 后 作 业 1．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 2．如图5－1－39，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是点P( ) A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定 图5－1－39 3．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 4．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3,4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 5．如图5－1－40，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( ) 图5－1－40 A．2 B．3 C.3 D．2 3 6．如图5－1－41，⊙O1，⊙O2相内切于点A，其半径分别是8和4，将⊙O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点O2移动的长度是( ) 图5－1－41 A．4 B．8 C．16 D．8或16 7．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＝r时，直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 8．已知⊙O的面积为9π cm，若点O到直线的距离为π cm，则直线与⊙O的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 9．如图5－1－42，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC＝________°. 2 图5－1－42 10．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是________． 11．如图5－1－43，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD. X k B 1 . c o m 图5－1－43 (1)求证：BD平分∠ABH； (2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 12．如图5－1－44，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA＝2，OP＝4. 图5－1－44 (1)求∠POA的度数； (2)计算弦AB的长． 13．如图5－1－45，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC. 图5－1－45 (1)求证：AP是⊙O的切线； (2)求PD的长． 14．如图5－1－46，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D. 图5－1－46 (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长． 15．如图5－1－47，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝( ) 图5－1－47 A．40° B．50° C．60° D．70°
