实验报告-使用多项式模型拟合数据

数据拟合在实际的生产和生活中有着广泛应用。本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于掌握数据拟合基本的基本原理，并且掌握最小二乘法的计算方法，同时学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况。

2 实验步骤

2.1 算法原理

（1）最佳均方逼近多项式

*HP(x)Hn，使得 n设是次数不超过n次的全体多项式集合。若存在n

||f(x)Pn*(x)||2min||f(x)Pn(x)||2*Pn(x)Hn

*P(x)是f(x)在[a，b]上的最佳均方逼近多项式。 n则称

n 设

Pn(x)akxkk0*P(x)，就是求一组系数n，则求最佳均方逼近多项式

ak(k0,1,...,n)使得

ba*k[f(x)akx]dxk0nn2Pn(x)Hnminba[f(x)akxk]dxk0n2

由于积分

[f(x)ax]dxkakk0b2是待定系数

ak的多元函数，记做I(a0,a1,...,an)。由函数

**aP(x)为最小均方逼近kn极值条件得到方程组，解方程组，可得到唯一确定的，从而得到

多项式。

（2）最小二乘法

在最小均方逼近多项式的讨论中，f(x)已知。但在多数情况下，我们不能确切的指导f(x)，只能知道一组数据乘法。

设给定一组m个数量的数据

{xi,yi}，将最小均方误差的思想用于点集上，便得到曲线拟合的最小二

{xi,yi}，{0,1,...n}是xi所在区间的连续函数集合，

n1,x,...x01n对于多项式：。取权值函数W(x)1，在公式中未写出。若存在

S(x)akk(x)*k0n，使得误差平方和最小，即

[S(x)y]*iii1m2min[S(xi)yi]2s(x)i0m，

*S则(x)是最小二乘逼近多项式。

mn设

I(a0,a1,...,an)[akk(xi)yi]2i0k0*S(x)转化为极值问题。由，求

mnI0,k0,1,...n[akk(xi)yi]j(xi)0aak，可得关于k的线性方程组i0k0，此式即

为法方程。法方程化简可得：

(,)ajkk0nk(j,f),k0,1,...,n

**aakk由上式，可以唯一的确定，且满足最小二乘条件。得到了系数，就可以唯一的确*P(x)。 n定数据的多项式拟合

（3）数据拟合的评价

在（1）中，提出了最小均方逼近的概念，对于数据拟合，可以通过求其均方误差来描述数据的逼近程度。均方误差的定义如下：

n*||||2[S(xi)yi]2i0

其均方误差越小，多项式逼近数据效果越好。

1/22.2 算法步骤

（1）读入数据点对

{xi,yi}

（2）通过最小二乘拟合方法，计算多项式参数

ak

'axykii（3）利用多项式参数，计算多项式在处对应的值

（4）计算均方误差

||||2

2.3 程序流程图

开始 读入数据点对 坐标描点 计算多项式参数 利用多项式参数绘制多项式曲线 计算均方误差 结束

图1 多项式数据拟合流程图

数据采用的是eggs.txt文件中的数据。由于数据中，只是一个数组，所以横坐标

认为是数据的下标值，即0，1，2，3….N-1。横坐标和纵坐标值分别存放在data_x.txt和data_y.txt文件中。计算多项式参数的方法采用最小二乘法。

3 实验结果分析

首先对原始数据进行描点（如图中的红色点所示），由一般的函数经验可知，此多项式的最高次数n>5。因此，实验结果的截图中，分别展示了n=7，n=10，n=12的截图。

图2 n=7拟合结果图

图3 n=10拟合结果图

图4 n=12拟合结果图

上面的图2，图3，图4分别是n=7，n=10和n=12的拟合结果图。从图中可以看出，对

于不同的最高次数的多项式，拟合结果是不一样的，即对于数据的逼近程度是不相同的。其对应的误差平方和分别是

n7799.56，n10304.86，n124530.69。实际上，对

于实验数据，其最好的拟合多项式是最高次数n=10。实验表明：对于数据，可以采用多项式来拟合曲线。同时，从实验中我们可以看出，对于相同的数据，并不是多项式的次数越高，拟合程度越好。

4 实验结论

在实验中，得出了如下结论：离散数据点，可以采用多项式进行拟合，通过最小二乘法

可以求得其最优多项式。对于拟合结果和原始数据的差异，用均方误差来表示。其定义在算法原理（3）中已经给出。计算结果可以从程序中得到。

此外，还得到一个结论：对于数据拟合，并不是多项式次数越高拟合越逼近。对此，在

数值分析的参考书中找到了原因，这是龙格现象。即对于一个等间距节点的高次插值多项式，不收敛于插值函数f(x)。

5 实验心得体会

1、数据权值问题

在最小二乘拟合中，有一个权值函数W(x)，定义在数据区间上。此函数的意义在于，

对于给定的数据点，可以赋予不同的权值，即数据的可信度。因为最小二乘拟合不同于插值法，要求严格的过数据点。因此，对于某些数据拟合来说，若要求某些数据点有较高的权值和优先级，采用不同的权值是必要的。在本实验中，数据的权值都W(x)1。 2、VC++图形的绘制

在编程过程中，遇到的主要问题是图形的绘制。对于不同的数据，坐标轴是可以伸缩的，

并且代表了不同的比例。

3、如果不采用多项式拟合，有比多项式拟合更逼近于原始数据点的拟合方法吗？

参考文献

[1] 数值分析/龙熙华编著.-西安，陕西科学技术出版社，2005.8

[2] Matlab数理统计分析/周品，赵新芬编著.-北京，国防工业出版社，2009.4