抛物线的参数方程

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学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用， 学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程： 一、课前准备：

阅读教材P33P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：

x2t2（1）（t为参数），答：yx5x3； 2ytt3x2m22（2）（m为参数），答：y8x.

y4m 2.将下列普通方程化为参数方程：

xt1t12 （1）y2x，其中xt（t为参数），答：；

t22y2t24txt2 （2）3y4x，其中xt（t0为参数），答：. 23ty3二、新课导学： （一）新知：

抛物线的参数方程的推导过程：

如图：设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记为，当在(yM(x,y)O,)内变化时，

22x点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的M点与对应.因此，可以取为参数探求抛物线的参数方程.

根据三角函数的定义得，tany2，即yxtan，联立y2px，得 x2pxtan2（为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， y2ptanx2pt21设t，t(,0)(0,)，则（t为参数 ），

tany2pt当t0时，由参数方程得，正好为顶点O(0,0)，因此当t(,)时，上式为

y22px的参数方程.

注意：参数t的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. 动动手：（1）选择适当的参数t，建立抛物线x2py的参数方程. 【解析】如图，(0,2)(,)，根据三角函数的定

22AOyM(x,y)义

xy2得，ttan，即yxt，联立x2py，得

xx2pt（t为参数）. 2y2pt （2）可选择M到准线的距离t为参数，y2px的参数方程是怎样的 【解析】如图，|MA|t，则xt22p，代入抛物线方2AOyM(x,y)x程，得y2ptt，所以，抛物线的参数方程为

pxt2（t为参数）. y2ptt2（二）典型例题：

【例1】A、B是抛物线y2x上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于M，求点M的轨迹方程.

22【解析】方法一 ：设M(x,y)，A(2t1,2t1)，B(2t2,2t2)(t1t2,且t1t20).

2由OAOB，所以OAOB0，

yAM(x,y)OBx(2t1t2)222t1t20，t1t21………①

又OMAB，所以OMAB0，

2x(t22t12)2(t2t1)0.

所以x(t1t2)y0，t1t2y(x0)……………② x22又AM(x2t1,y2t1)，MB(2t2x,2t2y)且A，M，B共线. 22∴(x2t1)(2t2y)(y2t1)(2t2x)，即y(t1t2)2t1t2x0……③

由①，②代入③，得到 xy2x0(x0)，这就是所求M点的轨迹方程.

2y12y2方法二：设A(,y1)(y10)，B(,y2)(y20)，

222y12y2y1y20，y1y24， 因为OAOB，所以

22222y122(x2)， 直线AB的方程为：yy1(x)，即yy1y2y1y22所以直线AB过定点C(2p,0)

又OMAB，所以点M的轨迹是以OC为直径的圆，则M的轨迹方程为

(xp)2y2p2(y0).

x2pt2动动手：已知O是坐标原点，A、B是抛物线（t为参数）上异于顶点的两动点，

y2pt且OAOB，求AB中点M的轨迹方程．

【解析】设A(2pt1,2pt1)，B(2pt2,2pt2)，由OAOB，得t1t21，

222pt12pt222xp(t1t2)2 又中点M(x,y)由，结合t1t21， y2pt12pt2p(tt)12222得点M的方程为:yp(x2p). 三、总结提升：

1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.

22.抛物线y2px(p0)上任意一点可以设为M(2pt,2pt). 3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：

22x4t21. 若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF等于（ C ）

y4tA．2 B．3 C．4 D．5

2. 抛物线x2m（m为参数）的焦点坐标是 （ B ） 2ym A．(1,0) B．(0,1) C．(0,2) D．(2,0)

x2pt23. 已知曲线(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2，

y2pt且t1t20，那么MN （ C ）

A．pt1 B．2pt1 C．4pt1 D．8pt1

x2pt2M2所对应的参数分别是t1、4. 若曲线（t为参数）上异于原点的不同的两点M1、

y2ptt2，求M1M2所在直线的斜率.

【解析】由于M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，，所以可设两点M1、M2坐标分别为

2M1(2pt12,2pt1),M2(2pt2,2pt2)，

所以，kM1M22pt12pt21. 222pt12pt2t1t225. A、B是抛物线y2x上异于顶点的两动点，且OAOB，点A、B在什么位置时，

AOB的面积最小最小值是多少

22【解析】设A(2t1,2t1)，B(2t2,2t2)(t1t2,且t1t20)，

则|OA|2|t1|t11，|OB|2|t2|t21， 因为OAOB，所以t1t21，

所以SAOB2|t1t2|(t11)(t21)2t1t222(t1t2)44，

2222222当且仅当t1t2时，即A、B关于x轴对称时AOB面积最小，最小面积为4.

五、学后反思：