△ABD 与 △ABC不全等． 小刚说：小颖这里说的∠B是锐角，如果∠B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的．我认为小明同学的证明无误． 你同意谁的观点？ 建议5分钟 1、请证明你的结论 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′ 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ 证明：在Rt△ABC中， ∵ AC2=AB2－BC2(勾股定理)． 在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 又∵ AB=A'B'，BC=B'C'， ∴AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)． 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示． 2、到目前为止，你能总结一下与三角形有关的所有判定吗？ SSS、SAS、AAS、ASA、HL 建议22分钟
题型1 HL判定 1．★★如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE=CF．求证：AB=AC． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定． 证明题． 利用“HL”证明△BED和△CFD全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证． 证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD， ∵DE⊥BC，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在△BED和△CFD中，， ∴△BED≌△CFD（HL）， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． 点本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，证明得到∠B=∠C评： 是解题的关键． 1．★★如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（ ） A145° ． B130° ． C110° ． D70° ．
考点： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 根据HL判定△ABC≌△ADC，得出∠ACD=∠ACB=55°，即可求∠BCD的度数． 解：∵∠ABC=∠ADC=90， ∴Rt△ADC与Rt△ABC中， CB=CD，AD=AD ∴△ABC≌△ADC，又∠ACB=55°， ∴∠ACD=∠ACB=55°， ∠BCD=110°． 故选C． 本题重点考查直角三角形全等的判定方法：HL． 点评： 题型2 其他判定方法 1．★★如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（ ） A40° ． 考点： 分析： 解答： B45° ． C50° ． D60° ． 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形． 先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°． 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠BEA=∠ADC=90°． ∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE ∴∠FBD=∠FAE 在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（AAS） ∴BD=AD ∴∠ABC=∠BAD=45° ，
故选B． 点本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、评： HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．★★如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，点E在上AD，且DE=CD，求证：BE=AC． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 证明题． 由∠ABC=45°，AD⊥BC可得到AD=BD，又知DE=CD，所以△BDE≌△ADC，从而得出BE=AC． 证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴AD=BD，∠BDE=∠ADC=90°． 又∵DE=CD， ∴△BDE≌△ADC． ∴BE=AC． 点本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、评： ASA、HL．发现并利用BD=AD是正确解决本题的关键． 1．★★（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC= 45 度． 考直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 点：
分析： 解答： 根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°． 解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， 又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF=∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD=AD， 即∠ABC=∠BAD=45°． 故答案为：45 点三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三评： 角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 题型 3 判定综合应用 1．★★如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是D、E．则图中全等的三角形共有（ ） A2对 ． 考点： 直角三角形全等的判定；等腰直角三角形． 分析： 有两对．分别为△CDE≌△BDE，△CAD≌△CBD． 解答： 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，CD=CD， ∴△CAD≌△CBD．（HL） 同理可证明△CDE≌△BDE． 故选A． B3对 ． C4对 ． D5对 ．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．★★使两个直角三角形全等的条件是（ ） A一个锐角对B两个锐角对应相等 ． 应相等 ． C一条边对应D两条边对应相等 ． 相等 ． 考直角三角形全等的判定． 点： 分利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法析： 逐个验证． 解解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能答： 证明两三角形全等，故选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确． 故选D． 点本题考查了直角三角形全等的判定方法；直角三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、评： SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等． 1．★★如图，P是∠AOB的平分线OC上一点（不与O重合），过P分别向角的两边作垂线PD、PE，垂足是D、E，连结DE，那么图中全等的直角三角形共有（ ） A3对 ． 考点： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；角平分线的性质． B2对 ． C1对 ． D没有 ． 根据全等三角形的判定定理HL进行判定． 解：图中全等直角三角形有：Rt△ODP≌Rt△OEP、Rt△ODF≌Rt△OEF、Rt△FDP≌Rt△FEP．共3对． 故选A．
点本题考查了直角三角形全等的判定、角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上评： 的点到角的两边的距离相等． 2．★★如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（ ） A①③ ． 考点： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定． B②④ ． C①② ． D③④ ． 点评： 可以采用排除法对各个结论进行验证从而确定正确的结论．根据折叠的性质，可得出的全等三角形有：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO；可得出BO=OD，即△BOD是等腰三角形，因此本题正确的结论有②和④． 解：∵把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠C=∠A=90°，AB=CD； ∵∠AOB=∠COD， ∴△ABO≌△CDO（第二个正确）； ∴OB=OD； ∴△BOD是等腰三角形（第四个正确）． 其它无法证明． 故选B． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 题型4 三垂直模型 1．★★在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE． 考直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 点：
专题： 分析： 解答： 证明题． 先证明∠BCE=∠CAD，再证明△ADC≌△CEB，可得到AD=CE，DC=EB，等量代换，可得出DE=AD+BE． 证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ACD+∠BCE=90°， 又∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°，而∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠CAD． 在△ADC和△CEB中 ∵， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴AD=CE，DC=EB． 又∵DE=DC+CE， ∴DE=EB+AD． 点本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、评： ASA、AAS、HL．证明两线段的和等于一条线段常常借助三角形全等来证明，要注意运用这种方法． 2．★★已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E． 求证：△ACD≌△CBE．（以上两个不同的图形所得的结论相同．请你任选其中一个图形加以证明） 考点： 专题： 分析： 直角三角形全等的判定． 证明题；开放型． 在本题中等腰直角三角形已经告知我们两个条件了即直角和一组边相等，我们可利用同角的余角相等，去证明所需的另外的角，从而利用角角边公式解答． 解证明：∵∠ACB=90°， 答： ∴∠DCA+∠BCE=90°， 又∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE，
又∠ADC=∠CEB=90°，且AC=CB， ∴△ACD≌△CBE． 点三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判评： 定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 1．★★如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论： ①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC； ③AB=CE；④AD﹣BE=DE． 正确的是 ①②④ （将你认为正确的答案序号都写上）． 考直角三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质． 点： 分首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角析： 形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的． 解解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD 答： ∴①∠ABE=∠BAD 正确 ∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90° ∴∠1=∠CAD 又∠E=∠ACB=90°，AC=BC ∴②△CEB≌△ADC 正确 ∴CE=AD，BE=CD ∴④AD﹣BE=DE． 正确 而③不能证明， 故答案为①、②、④． 故填①、②、④． 点本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分利用全等三角评： 形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键； 2．★★如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= 7 ．
考点： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质． 可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AD+BC． 解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ， ∴AB⊥MN， ∴∠DAE=∠EBC=90°， 在Rt△ADE和Rt△BCE中， ， ∴△ADE≌△BEC（HL）， ∴AE=BC， ∵AD+BC=7， ∴AB=AE+BE=AD+BC=7． 故答案为7． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质是基础知识比较简单． 点评： 3．★★如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E； （1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC； （2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 考点： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
专题： 分析： 证明题；探究型． （1）由已知条件，证明ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC； （2）同（1），先证ABD≌△ACE，再利用角与角之间的关系求证∠BAD+∠CAE=90°，即可证明AB⊥AC． （1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ACE中， ∵， 解答： ∴Rt△ABD≌Rt△CAE． ∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE． ∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°． ∴AB⊥AC． （2）AB⊥AC．理由如下： 同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE． ∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC， ∵∠CAE+∠ECA=90°， ∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°， ∴AB⊥AC． 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用． 1、直角三角形的判定方法有哪些了 答：SSS、SAS、AAS、ASA、HL 2、什么是三垂直模型了？ 答：三垂直模型有两个，如下图1：AB⊥AC，DB⊥AD，CE⊥AE，AB=AC，则△ADB≌△CAE，如图2：AB⊥AC，DB⊥AD，CE⊥AE，AB=AC，则△ADB≌△CAE。
图1 图2 注：三垂直模型并不总是完整给出来，有时我们看到题目和三垂直比较接近，但有不完整时，需要构造出三垂直模型。 1．★★（2012•自贡）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（ ） A3对 ． 考点： 分析： 解答： 点评： 直角三角形全等的判定；矩形的性质． B4对 ． C5对 ． D6对 ． 先找出图中的直角三角形，再分析三角形全等的方法，然后判断它们之间是否全等． 解：图中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对． 故选B． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．★★在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ） A△ABE≌△AB点D在∠BAC的平分线上 ． CF ．
C△BDF≌△C． DE 考点： 分析： 解答： D点D是BE的中点 ． 直角三角形全等的判定． 点评： 根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确； B、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确； C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确； D、无法判定，错误； 故选D． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．★★如图，CD⊥AB，BE⊥AC，请你再添加一个条件： AD=AE ，使△ABE≌△ACD． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定． 开放型． 要使△ABE≌△ACD，现有两对角对应相等，缺少边对应相等，任意选取三角形的一边即可． 解：已知CD⊥AB，BE⊥AC，∠A为公共角， 当CD=BE或AB=AC或AD=AE时，△ABE≌△ACD．（AAS或ASA） 故填AD=AE． 点本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、评： HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加条件时，要选取简单的、明显的条件． 4．★★如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= 7 cm．
考点： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm． 解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90° ∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90° ∴∠EAC=∠B ∵AB=AC ∴△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD=CE，BD=AE ∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm． 故填7． 点本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、评： SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5．★★（2010•顺义区）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． 求证：AD=AE． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 证明题． 求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可． 证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠ADB=90°， ∵AE⊥EB， ∴∠E=∠ADB=90°， ∵AB平分∠DAE， ∴∠1=∠2；
在△ADB和△AEB中，∴△ADB≌△AEB（AAS）， ∴AD=AE． ， 点此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，评： 先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 6．★★如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF． （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明． 考点： 专题： 分析： 直角三角形全等的判定． 证明题；开放型． 本题考查三角形的全等知识．第（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．第（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等． 解解：（1）3对．分别是： 答： △ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． （2）△BDE≌△CDF． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°． 又D是BC的中点， ∴BD=CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中，， 点∴△BDE≌△CDF（HL）． 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三
评： 角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 7．★★如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 探究型． 我们可以通过证明△BDE和△CDF全等来确定其为中线． 解：AD是△ABC的中线． 理由如下： ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BD=CD． ∴AD是△ABC的中线． 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要根据实际情况灵活运用． 8．★★如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°． 考点： 专题： 分析： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 证明题． 先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF，因为∠EAC+ACE=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°，根据平角定义可得∠ACB=90°．
解证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中， 答： ， ∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL）， ∴∠EAC=∠BCF， ∵∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠ACE+∠BCF=90°， ∴∠ACB=180°﹣90°=90°． 点本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，熟练掌握性质是解题评： 的关键． 9．★★如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2． 求证：△ADE≌△BEC． 考点： 专题： 分析： 解答： 直角三角形全等的判定． 证明题． 此题比较简单，根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论． 证明：∵∠1=∠2， ∴DE=CE． ∵AD∥BC，∠A=90°， ∴∠B=90°． ∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD=BE． ∴△ADE≌△BEC． 点本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判评： 定方法HL，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识． 10．★★如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F． （1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF； （2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
考点： 专题： 分析： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 计算题；证明题． 此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道 △BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了． 解（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF， 答： ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠EBA， 在△ABE和△AFC中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC． ∴EA=FC，BE=AF． ∴EF=EA+AF． （2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF， ∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠CAF=∠ABE， 在△ABE和△ABF中， ∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△BEA≌△AFC． ∴EA=FC=3，BE=AF=10． ∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7． 点此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线评： 段和的问题． 11．★★如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2． （1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由； （2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由． 考直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 点： 分（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC； 析： （2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，
则△CDE是直角三角形． 解解：（1）全等，理由是： 答： ∵∠1=∠2， ∴DE=CE， ∵∠A=∠B=90°，AE=BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）； （2）是直角三角形，理由是： ∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3=∠4， ∵∠3+∠5=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠DEC=90°， ∴△CDE是直角三角形． 点考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条评： 件． ————线段垂直平分线(★★) 1. 掌握线段的中垂线的性质； 2. 会运用线段的中垂线的性质以及角平分线的性质来解决线角的计算以及最短距离问题.
建议3分钟 现有不在一条直线上的A、B、C三城. （1）在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？ （2）在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？它们的位置有什么关系？ （3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？画图说明. 建议5分钟 线段的垂直平分线 1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）线段的垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分。 2. 性质： （1）垂直平分线垂直且平分其所在线段。 （2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 （3）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （4）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。 3.作法： （1）画一条线段AB，记其长度为a （2）用圆规以大于a/2为 半径，与以A,B分别为圆心画圆（半径相同） （3）连结两圆交点，则此线为线段的垂直平分线 建议22分钟
题型1 求线段长度 1．★★（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（ ） A2． 考点： 专题： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 计算题． B2 ． C4． D4 ． 求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可． 解：∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°， ∵DE垂直平分斜边AC， ∴AD=CD， ∴∠A=∠ACD=30°， ∴∠DCB=60°﹣30°=30°， ∵BD=1， ∴CD=2=AD， ∴AB=1+2=3， 在△BCD中，由勾股定理得：CB=在△ABC中，由勾股定理得：AC=， =2， 点评： 故选A． 本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中． 2．★★（2011•绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（ ）
A7 ． 考点： 专题： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质． B14 ． C17 ． D20 ． 几何图形问题；数形结合． 首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD=BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长． 解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD． ∴MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△ADC的周长为10， ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10， ∵AB=7， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17． 故选C． 点此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思评： 想的应用． 3．★★★（2010•娄底）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F． 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD．
考点： 专题： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 证明题． （1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可． 证明：（1）∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）． （2）∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∵AD=CF（已证）， ∴AB=BC+AD（等量代换）． 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 点评： 1．★★（2011•丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（ ） A6． 考线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 点： 专计算题． 题： B4． C6 ． D4 ．
分由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到析： EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC． 解解：∵BE平分∠ABC， 答： ∴∠CBE=∠ABE， ∵ED垂直平分AB于D， ∴EA=EB， ∴∠A=∠ABE， ∴∠CBE=30°， ∴BE=2EC，即AE=2EC， 而AE+EC=AC=9， ∴AE=6． 故选C． 点本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点评： 的距离相等． 2．★★（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 6 cm． 线段垂直平分线的性质． 数形结合． 根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长． 解：∵l垂直平分BC， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm． 故答案为：6． 点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 3．★★★（如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F （1）求证：CF=AD； （2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？ 考点： 专题： 分析： 解答：
考点： 专题： 分析： 线段垂直平分线的性质；梯形． 几何综合题． （1）通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD； （2）若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF∵AB=8，CF=AD=2，∴BC=BF﹣CF=8﹣2=6时有AB=BF． 解（1）证明：∵AD∥BC， 答： ∴∠F=∠DAE．（1分） 又∵∠FEC=∠AED， ∴∠ECF=∠ADE， ∵E为CD中点， ∴CE=DE， 在△FEC与△AED中， ∵， ∴△FEC≌△AED．（3分） ∴CF=AD；（4分） （2）解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上，（6分） 其理由是： ∵BC=6，AD=2，AB=8， ∴AB=BC+AD．（7分） 又∵CF=AD，BC+CF=BF， ∴AB=BF．（8分） ∴△ABF是等腰三角形， ∴点B在AF的垂直平分线上．（9分） 点本题利用了：（1）梯形的性质，（2）全等三角形的判定和性质，（3）中垂线的评： 性质． 题型2 与黄金三角形有关 1．★★★如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE． （1）求证：∠CBE=36°； 2（2）求证：AE=AC•EC．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）由线段垂直平分线的性质可得EA=EB，进而可求出∠ABC=∠C，易求解． （2）先由（1）的结论可证得△ABC∽△BEC，根据比例即可证明． 解答： 证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EBA=∠A=36°．（1分） ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°．（2分） ∴∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=36°．（3分） （2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BC=BE=AE．（4分） 在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BEC．（6分） ∴2， 即BC=AC•EC．（7分） 2故AE=AC•EC．（8分） 点评： 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定以及等腰三角形的性质．关键是证明BC=BE=AE． 1．★★★（（2011•河池）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ） ABD平分． ∠ABC CAD=BD=BC ． B△BCD的周长等于AB+BC ． D点D是线段AC的中点 ．
考线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 点： 分由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可析： 求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可知BD平分∠ABC；可得△BCD的周长等于AB+BC，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 解解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， 答： ∴∠ABC=∠C==72°， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=36°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD， ∴BD平分∠ABC，故A正确； ∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确； ∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC， ∴AD=BD=BC，故C正确； ∵BD＞CD， ∴AD＞CD， ∴点D不是线段AC的中点，故D错误． 故选D． 点此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等评： 知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 2．★★★（2012•沙县质检）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论： ①射线BD是∠ABC的角平分线；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD． （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明． 考线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 点：
专计算题． 题： 分（1）正确的结论是①和②； 析： （2）若选择①，根据MN为线段AB的中垂线，利用线段垂直平分线定理得到DA=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，由等腰三角形ABC及顶角的度数求出底角的度数，利用∠DBC=∠ABC﹣∠ABD求出∠DBC的度数，进而得到∠ABD=∠DBC，即BD为角平分线； 若选择②，由①求出的∠C和∠DBC的度数，求出∠BDC的度数，发现∠C=∠BDC，根据等角对等边可得BD=BC，即三角形BCD为等腰三角形． 解解：（1）正确的结论是①、②； 答： （2）若①正确，理由如下： ∵MN是AB的中垂线， ∴DA=DB， 则∠A=∠ABD=36°， 又等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠C=∠ABC=72°，∴∠DBC=36°， 则BD是∠ABC的平分线； 若②正确，理由如下： 由①知：∠C=72°，∠DBC=36°， ∴∠BDC=72°，即∠C=∠BDC， ∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形． 点此题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以评： 及三角形的外角性质，要求学生借助图形，熟练运用定理及性质，利用转化的思想达到解决问题的目的． 题型3 常见的辅助线 1．★★如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数= 60 度． 考点： 专线段垂直平分线的性质；菱形的性质． 计算题．
题： 分析： 解答： 根据菱形的性质求出∠ADC=100°，再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，从而计算出∠CDF的值． 解：连接BD，BF ∵∠BAD=80° ∴∠ADC=100° 又∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD ∴AF=BF，BF=DF ∴AF=DF ∴∠FAD=∠FDA=40° ∴∠CDF=100°﹣40°=60°． 故答案为：60． 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质． 2．★★如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ） A3 ． 考点： 专题： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形． B2 ． C． D1 ． 计算题． 连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可． 解：连接AF， ∵DF是AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∵FD⊥AB， ∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°，
∵DE=1， ∴AE=2DE=2， ∵∠FAE=∠AFD=30°， ∴EF=AE=2， 故选B． 点评： 本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强． 1．★★如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DF垂直平分AB交AB于F，交BC于D． 求证：BD=DC． 考点： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 专题： 证明题． 分析： 连AD，可得BD=AD．由AB=AC，∠A=120°，可得∠B=∠C=∠DAB=30°，∴∠DAC=90°．BD=AD=DC． 解答： 解：连AD． ∵DF垂直平分AB， ∴BD=AD． 又∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=∠DAB=30°． ∴∠DAC=90°， ∴BD=AD=DC． 点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质． 2．★★如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且
AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线． 考点： 专题： 分析： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 证明题． 延长AE、BC交于点F．根据等角的余角相等，得∠DBC=∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF=BD，从而AE=EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明． 解证明：延长AE、BC交于点F． 答： ∵AE⊥BE， ∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°， ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DBC=∠FAC， 在△ACF和△BCD中， ∴△ACF≌△BCD（ASA）， ∴AF=BD． 又AE=BD， ∴AE=EF． ∴AB=BF， ∴BD是∠ABC的角平分线． 点此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形评： 的性质． 1、线段垂直平分线出现往往会形成轴对称图形，因此在遇到求角、边问题时，一定要学会转化。并且要注意
整体思想的应用。 2、线段垂直平分线出现后，我们一般都会讲其补成一个轴对称图形，从而应用线段垂直平分线的性质。 1．★★（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） AAB=AD ． 考线段垂直平分线的性质． 点： 分根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，析： BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC． 解解：∵AC垂直平分BD， 答： ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE， ∴∠BCE=∠DCE， BAC平分． ∠BCD CAB=BD ． D△BEC≌△D． EC 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）， 故选：C． 点此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握评： 线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 2．★★（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于 2 cm． 考点： 线段垂直平分线的性质． 专题： 计算题．
分析： 由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长． 解答： 解：∵AB的垂直平分线交AC于点N， ∴NA=NB， 又∵△BCN的周长是5cm， ∴BC+BN+NC=5cm， ∴BC+AN+NC=5cm， 而AC=AN+NC=3cm， ∴BC=2cm． 故答案为：2． 点评： 本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义． 3．★★（2012•深圳二模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交AB于M，交BC于N，且MN=1，则BC的长为 6 ． 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析： 作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质：等边对等角即可求得∠B的度数，在直角△AMN中，利用三角函数即可求得BM的长，则AB的长即可求得，然后在直角△ABD中求得BD的长，根据BC=2BD即可求解． 解答： 解：作AD⊥BC于点D． ∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C==30°， ， ∴在直角△ANM中，tanB=∴BM=∴AB=2BM=2=， ， ∴在直角△ABD中，BD=AB•cosB=2∴BC=2BD=6． 故答案是：6． ×=3， 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，以及三角函数，正确作出辅助线，把求等腰三角形的底边的计算转化成解直角三角形是关键．
4．★★（2013•广东模拟）如右图，在△ABC中，DC是AB的垂直平分线，交AB于D，若∠B=41°，则外角∠ACE= 82° ． 考点： 线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质． 分析： 根据线段垂直平分线的性质可得AC=BC，进而得到∠A=∠B，再根据三角形的外角性质可得答案． 解答： 解：∵DC是AB的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠A=∠B=41°， ∴∠ACE=41°+41°=82°， 故答案为：82°． 点评： 此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，关键是掌握①垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．★★（2013•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ） A∠C=2∠A ． CS△BCD=S△BO． D 考线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割． 点： 分求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断2析： B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC=BC•AC，求出AD=BC，即可判断D． 解解：A、∵∠A=36°，AB=AC， 答： ∴∠C=∠ABC=72°， ∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误； B、∵DO是AB垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD， BBD平分∠ABC ． D点D为线段AC的黄金分割点 ．
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误； C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确； D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°， ∴△DBC∽△CAB， ∴=2， ∴BC=BC•AC， ∵∠C=72°，∠DBC=36°， ∴∠BDC=72°=∠C， ∴BC=BD， ∵AD=BD， ∴AD=BC， 2∴AD=CD•AC， 即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误； 故选C． 点本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性评： 质的应用，主要考查学生的推理能力． 6．★★（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（ ） A10 ． 考点： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． B8 ． C5 ． D2.5 ． 根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长． 解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE=CE，∠BDE=90°， ∵∠B=30°， ∴BE=2DE=2×5=10， ∴CE=BE=10． 故选A． 点本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是评： 得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中． 7．★★（2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70° ．
考线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质． 点： 分先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据析： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可． 解解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°， 答： ∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°， ∵D为BC的中点，AD⊥BC， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠C=35°， ∵OB平分∠ABC， ∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°． 故答案为：70°． 点本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角评： 的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键． 8．★★（2010•无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 50 度． 考点： 分析： 解答： 线段垂直平分线的性质． 点评： 根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答． 解：∵DE垂直平分AC，∠A=30°， ∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°， ∵∠ACB=80°， ∴∠BCE=80°﹣30°=50°． 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识． ①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等； ②得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答．
角平分线 1.回顾角平分线的性质及三角形中的角平分线； 2.掌握三角形中角平分线的有关辅助线的作法； 3.掌握三角形中有关于角平分线的计算问题. 两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人.小猪看重了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它么？ 1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 图1 图2
如图1，画∠BAC的平分线AD，交对边BC于点D，则线段AD是△ABC的角平分线。 2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点，这点成为三角形的内心. 如图2，线段AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=1∠ABC，∠ACB=2∠4。 23．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线. 4. 角平分线的两个性质： （1）角平分线上的点到角的两边的距离相等； （2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．（它们具有互逆性） 题型1 角平分线的性质及判定 ①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线； ③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1.（★★）给出下列结论，正确的有（ ） 【参考答案】B 2.（★★）下列结论正确的有（ ） ①如果(x－1)(x－2)=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角； ③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角； ④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【参考答案】B 3. （★★）如图，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（ ） A.2α－β B.α－β C.α+β D.2α
【参考答案】A 4.（★★★）如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E,F。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。 【参考答案】EFAD，且EGFG 证明：AD平分BAC DEAB，DFAC，垂足分别是E,F DEDF 在RtDEA和RtDFA中 DEDF ADADRtDEARtDFA（HL） ADEADF 在△DGE和△DGF中 DEDFGDEGDF DGDGDGEDGF（SAS） EGFG，DGEDGF90 EFAD，且EGFG 5. （★★★） 如图，已知在四边形ABCD中，BD180，AC平分BAD，CEAD，E为垂足。求证：ABAD2AE 【参考答案】证明：延长AB，过C作CHAB，H为垂足 AC平分BAD，且CEAD，CHAB CHCE 又HCA190，ECA290，12 HCAECA 在ACH与ACE中， HCAECAHAEC90 ACAC
ACHACE（AAS） AHAE 又ABCHBC180，ABCD180 HBCD 在RtBHC与RtDEC中， HBCDBHCDEC90 HCECRtBHCRtDEC（AAS） HBDE ABADABAEED ABAEBH AHAE 2AE 1. （★）如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2. （★）如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP. 3. （★★）如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________. （1） （2） （3） 4. （★★）已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=____度. 5. （★★）如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm. （4） 6. （★）下列各语句中，不是真命题的是（ ） A.直角都相等 B.等角的补角相等 C.点P在角的平分线上 D.对顶角相等 7. （★★）下列命题中是真命题的是（ ） A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 B.相等的角是对顶角 （5）
C.余角相等的角互余 D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 8. （★★）如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 9. （★★）如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则 ①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（ ） A.只有① B.只有② C.只有①和② D.①，②与③ 10. （★★）如图，已知在ABC中，BDDC，12。求证：AD平分BAC 【参考答案】 1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 6.C 7.A 8.B 9.D 10. 过点D作DEAB于E，DFAC于F 故，BEDCFD90 在BDE与CDF中 BEDCFD 12BDCDBDECDF（AAS） DEDF 又DEAB于E，DFAC于F
AD平分BAC。 题型2 三角形中的角平分线 1. （★★）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 交点 D. 三条角平分线的【参考答案】D 2. （★★）在RtABC中，C90，AD平分BAC，交BC于点D，若BC32，且BD:CD9:7，则点D到AB的距离为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【参考答案】C 3. （★★★）如图，直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【参考答案】D 4. （★★）如图，在RtABC中，C90，BD是ABC的平分线，交AC于D，若CDn，ABm，则ABD的面积是（ ） A. 1mn 3 B. 1mn 2 C. mn D. 2mn 【参考答案】B 5. （★★★）如图，ABC中，C90，点O为ABC的三条角平分线的交点，ODBC，OEAC，OFAB，点D,E,F分别是垂足，且AB10cm，BC8cm，CA6cm，则点O到三边AB,AC,BC的距离分别等于（ ）cm
A. 2、2、2 B. 3、3、3 C. 4、4、4 D. 2、3、5 【参考答案】A 6. （★★★）如图，已知BA,CA分别是DBC，ECB的平分线，BDDE，CEDE，垂足分别为D,E，则DA与EA有怎样的数量关系____________。 【参考答案】DAEA 7. （★★）已知ABC中，C90，AD平分A，ADBD2CD，点D到AB的距离等于5.6cm，则BC的长为___________cm。 【参考答案】16.8 8. （★★★）如图，BD是ABC的平分线，DEAB于E，DFBC于F，SABC36cm2，AB18cm，BC12cm，则DE的长是__________。 【参考答案】12cm 解析：5ABDCBD，DEAB，DFBC DEDF SABDSCBDSABC 1118DE12DF36 2212(96)DE36，DE。 5 1.如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF. 2.如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
3.如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G， 则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF. （1） （2） （3） 4.如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N. 求证：A、M、N在一条直线上. 证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC ∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC ∴NF__________NH，NH__________NK ∴NF__________NK ∴N在∠A的平分线上 又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M在∠A的__________上 ∴M、N都在∠A的__________上 ∴A、M、N在一条直线上 5.以下说法正确的有 ①在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个 ②在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 ③三角形三条角平分线交于一点 ④等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 ⑤三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 6、作图题： （1）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点. ．． （2）.如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.
7.已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7， 求：D到AB边的距离. 【参考答案】 1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = = 4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线 平分线 5. ①③④ 6.略 7.解：过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离 ∵BD∶CD=9∶7， ∴CD=BC·7732=14 1616而AD平分∠CAB，∴DE=CD=14
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