中考数学复习微专题：《最短路径问题》的反思及应用

《最短路径问题》的反思及应用

我们知道，有效地开发和利用课本，对于学生的学习具有重要的意义。学生对于课本上例题或习题能否吃透，直接影响着学生的学习效果。因此教师要引导学生挖掘教材，引导学生进行反思，从中领悟问题解决过程的数学内涵。 有这样一个问题：

如图1所示，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?

分析 我们把河边近似看做一条直线l (如图2)，P为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点P在直线l的什么位置时，AP与PB的和最小。

如图3所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，则点P就是牧马人到河边饮马的位置。事实上，点B'与点A的线段AB'最短，由对称性质知，PBPB'，因为

PAPBPAPB'AB'，即点P到点A、B的距离之和最小。

上述路径问题，是利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离，基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。从解题过程不难看出，本题蕴含着三个数学思想方法:数学模型思想，转化思想，对称思想。如果学生一旦认识或明白这些思想方法，就能举一反三，再复杂的问题也会迎刃而解。 一、基本应用

如图4，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC3，则折痕CE的长为多少?

分析 沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，则点B、点O关于直线CE对称，COCB3，

1211ACB，点O是矩形ABCD的中心，知AC2CO6。所以2ACB30，22--完整版学习资料分享----

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又在RtCBE中，BCE30，BC3，若设BEx，则

CE2x，得(2x)2x232，x13，x23（舍去），所以CE2x23。

二、拓展应用

如图5两条公路BA、BC相交于点B，在两条公路之间的P点有一个油库，若要在公路BA、

BC上各设置一个加油站Q和R，设置在何处，可使油车从油库出发经过一个加油站Q (或R)，

再到另一个加油站R (或Q)，最后回到油库所走的路程最短，即PQQRRP最小。

分析 要比较封闭曲线间的长度大小是有些困难的，我们仍然利用轴对称的方法，找到P关于

BA、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，由对称性易知：PQP'Q，PRP''R，此时

PQQRRPP'QRQP''R，欲使PQQRRP最小，应在P'P\"，上取Q、R点为P'P\"分别与AB、CB的交点，此时PQR的周长最小。

三、灵活运用

如图6，一只蚂蚁欲从圆柱形的桶外点A爬到桶内点B去寻找食物，已知点A到桶口的距离

AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD弧长为15cm，若蚂蚁爬行的是最短路线，应该

怎样走?

分析 将圆柱侧面展开得如图7，这样所求问题可化为在CD上求一点P，使得PAPB最小，因此，作点B关于CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点P，线段AB'就是最短的路线长，即蚂蚁应该沿AP到PB的路线走最短。过B'作B'EAC交AC的延长线于E，则AE20cm，

B'E15cm，根据勾股定理得AB'25。故蚂蚁爬行的最短路线为25cm。

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本题将该模型思想迁移到空间几何问题中运用，其解决问题的基本思路是“化曲为平”，把立体几何问题转化为平面几何问题来思考。

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