公路卵形曲线中线及边线坐标的计算

第２８卷第３期　河北理工学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｂｅｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．３　２００６年８月　Ａｕｇ．２００６　文章编号：１００７—２８２９（２００６）０３—０１２６—０４　公路卵形曲线中线及边线坐标的计算　王健　（河北理工大学交通与测绘学院，河北唐山０６３００９）　关键词：卵型曲线；缓和曲线；坐标计算　摘要：推导了公路卵型曲线上任意一点的测量坐标和过该点的切线、法线的方位角的公　式，并在此基础上推导了路边线测量坐标的计算公式。最后利用工程实例阐明了计算的方　法。　中图分类号：Ｕ　４１２．２４　文献标识码：Ａ　在公路、铁路及矿山建设中，经常需要测设各种复曲线。当相邻两圆曲线的曲率半径差超过一定值　时，这两个圆曲线必须通过缓和曲线连接。在复曲线的各种基本线型中，此类缓和曲线（也称卵型曲线　或不完全缓和曲线）最为复杂，并且在各种测量教材和资料中，对这类缓和曲线的介绍很少。另外，随　着全站仪和计算机在工程测量中的广泛应用，采用极坐标法直接在控制点上测设公路的中线和边线，既快　捷又减少了累积误差。针对以上问题，作者根据卵型曲线的特性，推导出了计算卵型曲线中线及边线坐标　的计算公式。　１　不完全缓和曲线的特性　如图１所示，缓和曲线ＯＡＢ为完全缓和曲线，曲率半径从０点的＋∞到Ｂ点的Ｒ　，而不完全缓和曲　线ＡＢ是完全缓和曲线ＯＡＢ的一部分，半径从Ａ点的Ｒ。（Ｒ。＞Ｒ　）到Ｂ点的Ｒ　。设曲线ＡＢ的长为ｌ，此　时该缓和曲线的曲线半径变化率为：ｃ＝酱。　０　ｙ　ｙ　图１　图２　收稿日期：２００５．１０．２５　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期　王健：公路卵形曲线中线及边线坐标的计算　１２７　法　线　方　位　角　为　２　不完全缓和曲线上任意点测量坐标的计算　２．１方法一　建立以０点（ＺＨ点）为原点，以０点处的切线方向为　轴，以垂直于　轴且方向指向曲线内侧的方　向为Ｙ轴的坐标系，如图１所示。　Ａ点（ＹＨ点）的测量坐标（　，Ｙａ）、切线方位角Ｏｌ　、曲线ＡＢ的长２、Ｂ点（ＨＹ点）的半径Ｒｚ为　，●●●●●，、●●●【　，●●●＝　设计给出或根据邑知条件很容易得到。　＝　＝　由完全缓和曲线的性质可得：　Ｄ点至Ａ点的曲线长：２。＝　ｌ　ｘ　Ｒ２　一　＋　Ａ点在ｘｏｒ坐标系中的相对坐标为：　。ｌ×　×仃仃。ｌ　仃　仃　．　．　２９　＋　一　。一４—０Ｃ２＋丽－ｖ　１　瑶　２　ｒｏ　（１一　。ｌ）×　　×仃仃。ｌ　仃　仃　【Ｙａ　６一Ｃ一　＋　．　Ａ点切线与　轴的夹角为：　＝　Ｉ，ｏ（弧度）　设ＡＢ上任意一点Ｐ至Ａ的曲线长为２　，则有：　Ｐ点在ｘＯｙ坐标系中的相对坐标为：　¨　一　＋　１【　Ｙａ　—（２。＋　　一　（２。＋　＋—．（　＋４２２４—０Ｃ５‘　　一　Ｐ点切线与　轴的夹角为：　：　手　（弧度）　所以Ｐ点处切线的方位角为：　（曲线右转）　（３）　（曲线左转）　×　＋　×　１８０＋９０。（曲线　（４）　１８０×　一　×一＋９０。　（曲线左转）　＇Ｊｒ　７ｒ　Ｐ点的测量坐标为：　曲线右转时：　『　＝　＋（　一　ＣＯＳ（＾一　×１８０／７ｒ）一（　一Ｙａ）ｓｉｎ（ｏｔ＾一　×１８０／ｚ＇）　ｆ５、　【　＝　＋（Ｙｐ—Ｙａ）ｃｏｓ（　＾一　＾×１８０／￣）＋（　ｐ—　＾）ｓｉｎ（　＾一　＾×１８０／￣）　曲线左转时：　＝Ｘａ＋（　一，ｘａ）ｃｏｓ（ａ　＋　×１８０／７ｒ）＋（　一　）ｓｉｎ（Ｏｔａ＋　×１８０／７ｒ）　（６）　【　＝　一（　一Ｙ＾）ＣＯＳ（Ｏ／＾＋　Ａ×１８０／７ｒ）＋（　一　）ｓｉｎ（ｃ￣ａ＋　＾×１８０／￣）　２．２．方法二　・　建立以Ａ点（　点）为原点，以Ａ点处的切线方向为　轴，以垂直于　轴且方向指向曲线内侧的方　向为Ｙ轴的坐标系，如图２所示。　一　Ａ　维普资讯 http://www.cqvip.com

１２８　河北理工学院学报　所　以　第２８卷　缓和曲线上任恿点Ｐ到原点Ａ的曲线长为Ｚ　，Ｐ点切线与　轴的夹角为／３，所以曲线ＡＰ对应的螺旋角　Ｐ　为卢。在Ｐ处任意取一微分弧段ｄｌ，ｄｌ对应的中心角为　，ｄｌ在坐标轴上的投影分别为ｄｘ和ｄｙ。该缓和　点　处　曲线所对应的完整缓和曲线上从半径为＋∞到Ｒ。的弧长ｆ０＝　，根据缓和曲线的特性可得Ｐ点处的　的　ＪＩ．Ｉ—ＪＬ’　切　曲率半径Ｐ＝　。　ｂＮ。ｒ‘：　Ｐ点处微分弧段ｄｌ对应的中心角为：　线　方　位　角　为　●●●ｌｌ●●●－ｆ１＿＿＿【　：　ｚ：　ｄｌ　加　阳　积分上式得到弧长Ｚ　所对应的螺旋角为：　＝　＝　／３＝　ｄｌ＝（Ｉｏｆｆ＋孚）／ｃ（弧度）　＋　一　×　×　所以，　●●■一●●■一　丌　ｆ　＝ｃｏｓｌｆｄｌ＝ｃｏ８［（ｆ０ｌｌ＋等）ｌＺ　／ｃ］ｄｌ　｛　，　（７）　【ｄｙ　８ｉｎｌｆｄ／＝ｓｉｎ［（ｆ０　＋２）／Ｃ］ｄｌ　将上式中正弦函数　余弦函数按泰勒级数展开，并取级数展开式的前３项进行积分，即得到Ｐ点在　ｘＡｙ坐标系中的相对坐标为：　『　ｃ孚＋　＋　／２Ｃ２＋ｌ　ｃ孚＋学＋警＋　＋　４　Ｉ　＝ｉｆ（¨　ｃ　ｃ孚＋擎＋　＋　２ｃ，　ｃ孚＋挚＋警＋警＋　＋ｉ－￣Ｆ）／２４　（８）　（曲线右转）　（９）　（曲线左转）　ｆ【　＝　一卢×　卢×　＋１８０＋９０。９０。（　（曲线左转）　转）　　（１０）　．　ｆ【　＝　＋ｙ：ｏｓａＡ＋ＸｐＳｉ¨ｐｃ０　一　ｎｏｔ＾一　　、（　‘１１）　曲线左转时　ｆ　＝　—ｙ：ｏｓａＡ＋ＸｐＳｉｎｏ＋　一＋　渤　ｔＡ　（１２）　３　公路卵型曲线边线测量坐标的计算　前面已　详细讲述了不完全缓和曲线（即卵形曲线）路中线上任意　Ｐ处的ｉ贝０量坐标　、　及法线　丌　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期　王健：公路卵形曲线中线及边线坐标的计算　１２９　桩号　半径（ｍ）　切线方位角（。）　路宽（ｍ）Ｘ　Ｙ　４．１计算Ｐ点的测量坐标和切线、法线方位角　利用本文介绍的方法（一），由已知得：缓和曲线段长度Ｚ＝６８．２４１　ｍ，曲线半径变化率Ｃ＝　４２１７．９２４，完全缓和曲线上从曲率半径Ｒ＝＋∞到Ｒ＝Ｒｌ的弧长ｌｏ＝８．４４８５　ｍ，ＹＨ点到Ｐ点的曲线长ｆｉ＝　４４．２１３　ｍ。　在以ＺＨ点为原点的相对坐标系中，通过计算可得：　珊点的相对坐标：　＝８．４４８４，Ｙａ＝０．０２３８，其切线与　轴的夹角为　＝０．４８４８５。，Ｐ点的相对坐　标：　＝５２．０９５２，），　＝５．７２６３，其切线与　轴的夹角为　＝１８．８３５５９。。　所以，在大地坐标系中，Ｐ点的切线方位角为２３９．７３２５６。，法线方位角为３２９．７３２５６。，其大地坐标　为：　＝６２６７８．２３２２，　＝２９１７９．４５３６。　４．２计算Ｐ点处边线的测量坐标　Ｐ点右侧边线坐标为：墨＝６２６８１．５８３３，ｙ，＝２９１７７．４９７９　Ｐ点左侧边线坐标为：Ｘｔ＝６２６７４．８８１１，ｙＪ＝２９１８１．４０９３　有兴趣的读者还可以用第二种方法对Ｐ点的坐标和方位角进行计算，将会得到相同的结果。　５　结束语　●●　●　，　连接两圆曲线的缓和曲线（卵形曲线）是完全缓和曲线的一部分，本文根据缓和曲线的特性（Ｃ＝Ｒ　×２）推导了卵形曲线上任意点的测量坐标和该点切线、法线的坐标方位角的公式，并进一步推导了路边　线坐标的计算公式，各计算公式都直观、清晰，十分便于计算工作的程序化和条理化。　参考文献：　［１］　李青岳，陈永奇．工程测量学［Ｍ］．北京：测绘出版社，１９９５．　［２］　刑喜乐．公路卵型曲线的双向测设［Ｊ］．工程勘察，２０００（１）．　［３］　闻道秋，贡云兰．不完全缓和曲线的计算［Ｊ］．公路交通科技，２００２（１）．　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｍｉｄｌｉｎｅ　ａｎｄ　Ｓｉｄｅｌｉｎｅ　ｏｆ　Ｏｖｉｆｏｒｍ　Ｃｕｒｖｅ　Ｒｏａｄ　ＷＡＮＧ　Ｊｉａｎ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｍａｐｐｉｎｇ，Ｈｅｂｅｉ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｎｇｓｈａｎ　Ｈｅｂｅｉ　０６３００９，Ｃｈｉｎａ）　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｏｖｉｆｏｒｍ　ｃｕｒｖｅ；ｓｐｉｒａｌ　ｃｕｒｖｅ；ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒａｎｄｏｍ　ｐｏｉｎｔ　ｉｎ　ｏｖｉｆｏｒｍ　ｃｕｒｖｅ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｚｉｍｕｔｈ　ａｎｇｌｅ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｔａｎｇｅｎｔ　ｌｉｎｅ　ａｎｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｌｉｎｅ　ｉｓ　ｄｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｉｄｅｌｉｎｅ　ｏｆ　ｒｏａｄ　ｉｓ　ｄｅｄｕｃｅｄ．　．Ａｔ　ｌａｓｔ，ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．