全国初中数学竞赛试题及答案.pdf

中国教育学会中学数学教学专业委员会

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|可以化简为（ ）． （A）（D）a

1（乙）．如果a=−2+2，那么1+2c−a （B）2a−2b （C）−a

112+3+a的值为（ ）．

（A）−2 （B）2 （C）2 （D）22 b2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一

x个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）

2（乙）． 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5

3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1ab，那么1，a+1， 2a+b，a+b+1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）

2a−111 （C） （D） 4243（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．ADC=30，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）．

（A）32 （B）4 （C）25 （D）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

- 1 -

一 寸 光 阴 不 可 轻

4（乙）．如果关于x的方程 x2−px−q=0（p，q是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．

（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则

p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）．

（A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3

5（乙）．黑板上写有1，　，　 ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数

12131100a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数

是（ ）．

（A）XXXX （B）101 （C）100 （D）99

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行

从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=9，

11110abc，那么的值++=++a+bb+cc+a9b+cc+aa+b为 ．

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条

作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若OC=12，段CE、BD的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+

ECA对角线则线

329k－3k+= 0的两个实数

24OBD根分别

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一 寸 光 阴 不 可 轻

为x1，x2，那么

x1x220112012 的值为 ．

8（乙）．设n为整数，且1≤n≤XXXX. 若(n2−n+3)(n2+n+3)能被5整除，则所有n的个数为 .

9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

（a，b，c）9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若（x，y，z）111a（，，）和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 . abcc10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为 .

（a，b）10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得a2=b2+n成立，则这样

的n的个数为 ．

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

（m+3）x+m+2，当−1x3时，恒有y0；关于x的方程11（甲）．已知二次函数y=x+2x2+（m+3）x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于−11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，

9．求m的取值范围． 10yAO=8,AB=AC,sinC=45COEDABx。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且SCOE=SADE。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。

12（甲）. 如图，⊙O的直径为AB，

- 3 -

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O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与O1交于点D，且ODCD．点

E在OD上，且DC=DE，BE的延长线与O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.

13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当aXXXX时，求a的最小值.

13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，x2012，满足x1x2x2012，且

12++x1x2+2012=n. x201214（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可以相同），使得ab=c，求n的最小值．

参考解答

一、选择题

1(甲) .C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

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ba0c，且bc，

所以

a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|=−a+(a+b)+(c−a)−(b+c)=−a．

1（乙）．B 解：1+12+13+a=1+2+111+2=1+11=1+=1+2−1=2．

2+12+2−12（甲）．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一

个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x−1)2+(y−1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有

2222(x−1)=0，(x−1)=0，(x−1)=1，(x−1)=1，    2222(y−1)=0；(y−1)=1；(y−1)=0；(y−1)=1.解得

x=1，x=1，x=1，x=0，x=0，x=0，x=2，x=2，x=2，         y=2；y=2；y=1；y=0；y=1；y=0；y=1；y=0；y=2.以上共计9对. （x，y）3（甲）．D

解：由题设知，1a+1a+b+12a+b，所以这四个数据的平均数为

1+(a+1)+(a+b+1)+(2a+b)3+4a+2b=，

44(a+1)+(a+b+1)4+4a+2b=中位数为 ，

244+4a+2b3+4a+2b1−=. 于是

4443（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

又因为ADC=30，所以ADE=90.

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在Rt△ADE中，AE=5，AD=3， 于是DE=4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得

AE2−AD2=4，所以CD = DE = 4.

x+2=n(y−2)， y+n=2(x−n)，消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =

(2y−7)+1515=1+.

2y−72y−7因为

15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从

2y−7而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为−q0，故方程的根为一正一负．由二次函数y=x−px−q的图象知，当x=3时，y0，所以3−3p−q0，即 3p+q9. 由于p，q都是正整数，所以p=1，1≤q≤5；或 p=2，1≤q≤2，此时都有=p+4q0. 于是共有7组（p，q）符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

222p0=910，因此p3最大． ，p1=，p2=，p3=363636365（乙）．C

解：因为a+b+ab+1=(a+1)(b+1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则

11x+1=(1+1)(+1)(+1)231(+1)， 100解得 x+1=101，x=100．

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一 寸 光 阴 不 可 轻

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x−2≤487 9x−8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

6（乙）.7

11110两边乘以a+b+c=9得 ++=a+bb+cc+a9cabcab3+++=10即++=7

a+bb+cc+aa+bb+cc+a解：在

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2===， BFNFBN12由此得AN=2NF，所以AN=AF.

3在Rt△ABF中，因为AB=2a，BF=a，所以

AF=AB2+BF2=5a，

于是 cosBAF=AB25. =AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AED=AFB，

AME=1800−BAF−AED=1800−BAF−AFB=90. 于是 AM=AEcosBAF=25a， 5245MN=AN−AM=AF−AM=a，

315SMNDMN4==. SAFDAF15

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又SAFD=148(2a)(2a)=2a2，所以SMND=SAFD=a2. 21515因为a=15，所以SMND=8.

28 5解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM⊥DE．

7（乙）.

因为OB=20−12=16，所以

22OBOC161248， ==BC20536． CM=OC2−OM2=，BM=55OM=CE−BD=（EM−CM）−（DM−BM）=BM−CM=8（甲）．−3628． =−5552 339=k2－4(k2−3k+)≥0，

42解：根据题意，关于x的方程有

由此得 (k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+

93=0，解得x1=x2=−.

24故

x1x22011=201221=−．

3x28（乙）.1610

解：n−n+3n+n+3=n+34(2)(2)(2)2−n2=n4+5n2+9

因此5|(n+9)，所以n1(mod5)，因此n=5k1,或5k2

420125=4022

所以共有XXXX-402=1610个数

9（甲）．8

解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知2a+3b=130，由此得0≤b≤43.

(m+1)(m+2)，所以2a+2b=(m+1)(m+2). 于是

2 0≤b=130−(m+1)(m+2)≤43，

又 a+b=87≤(m+1)(m+2)≤130，

由此得 m=8，或m=9.

当m=8时，b=40，a=5；当m=9时，b=20，a=35，aa+b55=，不合题设. 22 - 8 -

一 寸 光 阴 不 可 轻

故m=8． 9（乙）.

3−5a1 2ca+bc(1)解：依题意得：111，所以bc−a，代入（2）得

+(2)bca11111++，两边乘以a得 abcc−ac1aac−aa即化简得a2−3ac+c20，两边除以c2得 +c−ac，cc−a，

23−5a3+5aa 所以 −3()+102c2cc另一方面：a≤b≤c，所以

a3−5a1 综合得1 c2c另解：可令

a=k，由（1）得b(1−k)c，代入（2）化简得k2−3k+10，解得 c3−53+53−5另一方面：a≤b≤c，所以k1， 综合得kk1．

22，210（甲）．

32 2解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此

BCBA. =CFAD因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是

DEOE==2. 因此 DCOBDE=2CD=2AD，CE=3AD.

由△AED∽△CEB，知DEEC=AEBE．因为AE=BA3，BE=BA， 22 - 9 -

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所以 2AD3AD=BA3BA，BA=22AD ，故 22CF=BC32AD=. BC=2BA2210（乙）.12

解：依题意得n=a−b=(a+b)(a−b)

22由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n=4k，

（a，b）当1≤n≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：

k=p或k=p2，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、

4、9、25，从而这样的n有12个。

三、解答题

11（甲）．解： 因为当−1x3时，恒有y0，所以

2=（m+3）−（4m+2）0，

2即（m+1）0，所以m−1．

…………（3分）

当x=−1时，y≤0；当x=3时，y≤0，即

(−1)2+(m+3)(−1)+m+2≤0，

且 3+3(m+3)+m+2≤0，

解得m≤−5．

…………（8分）

设方程x+(m+3)x+(m+2)=0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关

22系得x1+x2=−(m+3)，x1x2=m+2．

因为

x+x119m+39+−，所以12=−−， x1x210x1x2m+210解得m−12，或m−2．

因此m−12．

…………（15分）

11（乙）.解：因为sin∠ABC =

AO4 =，AO=8，

AB5 AB2−AO2=6．

所以AB = 10．由勾股定理，得BO= - 10 -

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易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6． 于是A(0，−8)，B(6，0)，C(−6，0)． 设点D的坐标为(m，n)． 由S△COE=S△ADE，得S△CDB=S△AOB．

1111BCn=AOBO，12(−n)=86． 2222解得 n=−4．

因此D为AB的中点，点 D的坐标为(3，−4)．

所以

因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，

所以点E的坐标为(0，（也可由直线CD交y轴于点E来求得.） −)．设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y=a(x−6)(x+6)． 将点E的坐标代入，解得a =

832． 27故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y=12（甲）． 证明：连接BD，因为OB为

228x−． 273O1的直径，所以

ODB=90．又因为DC=DE，所以△CBE是等腰三角形．

…………（5分）

设BC与

O1交于点M，连接OM，则OMB=90．又

因为OC=OB，所以

BOC=2DOM=2DBC=2DBF=DO1F．

…………（10分）

又因为BOC，DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以

△BOC∽△DO1F．

…………（15分）

12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等

的性质知：CID=IAD+IDA，

CDI=CDB+BDI=BAC+IDA=IAD+IDA． 所以CID=CDI， CI = CD． 同理，CI = CB ．

故点C是△IBD的外心．

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．

故OI是△IBD外接圆的切线． （2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F． 由BC=CD，知OC⊥BD．

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因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE． 又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD−BD=2AE+BD−BD=2BF=BD． 故AB+AD=2BD．

也可由托勒密定理得：ABCD+ADBC=ACBD，再将AC=2BC=2CD代入即得结论AB+AD=2BD。

13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）.

因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，

(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.

…………（5分）

（1）当n1时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n=m 2，2a－m－2n=1.

(m+1)2m2−1解得 a=，n=.

442（m−1）于是 b= a－m=.

4…………（10分）

(m+1)2又a≥XXXX，即≥XXXX.

4(+1)2又因为m是素数，解得m≥. 此时，a≥=2025.

4当a=2025时，m=，b=1936，n=1980. 此时，a的最小值为2025.

（2）当n=0时，因为aXXXX，所以b=0，从而得a的最小值为XXXX（素数）。 综上所述，所求的a的最小值为XXXX。……（15分）

13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角

都等于30°，

而凸n边形的n个外角和为360°，所以k360=12，只有当n=12时， 30k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论n12时的情况： （1）当n12时，显然，k的值是11；

（2）当n=3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；

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一 寸 光 阴 不 可 轻

（3）当n=8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）

综上所述，当3n7时，凸n边形最多有n−2个内角等于150°；当8n11时，凸n边形最多有n−1个内角等于150°；当n=12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当n12时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）

14（甲）．解：由于x1，x2，　，x2012都是正整数，且x1x2x2012，所以

x1≥1，x2≥2，…，x2012≥XXXX．

于是 n=12++x1x2+201212≤++x201212+2012=2012． 2012…………（5分）

当n=1时，令x1=2012，x2=22012，　，x2012=20122012，则

12++x1x2+2012=1. x2012…………（10分）

，x2=2，　，xk=k， 当n=k+1时，其中1≤k≤2011，令 x1=1

xk+1=(2012−k)(k+1),xk+2=(2012−k)(k+2)，x2012=(2012−k)2012，则

12++x1x2+20121=k+1=n． =k+(2012−k)x20122012−k，　2，　，　2012． 综上，满足条件的所有正整数n为1…………（15分）

14（乙）.解：当n=216−1时，把2，　3，　，n分成如下两个数组：

　3，　，2　2+1，　，　2−1和4，　5，　，　2−1． 2，，2）2在数组2，　3，　，2　2+1，　，　2−1中，由于32（881688816388216−1，

所以其中不存在数a，，bc，使得ab=c．

　5，　，　28−1中，由于42−1， 在数组4，所以其中不存在数a，，bc，使得ab=c． 所以，n216．

下面证明当n=216时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若2=4也在第一组，则结论已经成立．故不妨设2=4在第二组． 同

8216理可设4=2在第一组，(2)=2在第二组．

482248 - 13 -

一 寸 光 阴 不 可 轻

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取a=2，b=8，c=2，此时ab=c；如果8在第

8b=8，c=2，此时ab=c． 二组，我们取a=4，综上，n=216满足题设条件．

所以，n的最小值为2．

（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．）

1616 - 14 -