初二数学特殊的平行四边形

中考要求

知识点 菱形 正方形

基本要求 会识别菱形 会识别正方形 略高要求 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质及判定解决简单问题 较高要求 会用菱形的知识解决有关问题 会用正方形的知识解决有关问题 知识点睛

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．

4．三角形的中位线

中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．

也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．

中点中点中点平行

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．

5．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 6．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

1

平行四边形正矩形方菱形形7．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

例题精讲

板块一、菱形的性质及判定

【例1】 如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，

证明：AB与EF互相平分．

DEHAPFBC

【解析】省略

【答案】连接BD、AF、EB

∵菱形ABCD中BDAC，EFAC，∴BD∥EF ∵AD∥FC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴EDFB ∵AEED，∴AEFB

又∵AE∥FB，∴四边形AFBE是平行四边形 ∴AB与EF互相平分

【例2】 已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AEAFEFAB，求C的度数．

ABECFD

【解析】∵AEAB ∴BAEB

同理DAFD ∵四边形ABCD是菱形

2

∴AD∥BC，BD，BADC，∴AEBAFD ∵BD ∴BAEDAF

∵DEEFAF，∴△AEF是等边三角形，∴EAF60 设BAEx，则BAD602x

∵ABEABEBAE180，∴ABE90∵AD∥BC，∴BBAD180，∴90∴x20 ∴CBAD602x100

【答案】100

【例3】 已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且BEAF60，BAE18．求：

CEF的度数．

ADx 2x602x180 2FBEC

【解析】连接AC，∵四边形ABCD为菱形

∴ABBCCDAD

∴△ABC和△ACD为等边三角形 ∴ABAC，BACDBAC60 ∵EAF60 ∴BAECAF ∴△ABE≌△ACF ∴AEAF ∵EAF60 ∴△AEF为等边三角形 ∴AEF60

∵AECBBAEAEFCEF ∴CEF18

分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题．

【答案】18

3

ADFBEC

【例4】 如图，ABC中，ACB90，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．

CDFAHEB

【解析】省略

【答案】∵CHAB，∴HAFAFH90

∵ACB90，∴CADADC90

∵AD平分CAB，∴CADHAF，∴AFHCDF ∵AFHCFD，∴CDFCFD，∴CFCD ∵AD平分CAB，DCAC，DEAB ∴CDDE，∴CFDE 又∵CHAB，DEAB

∴CF∥DE，故四边形ABCD是平行四边形 ∵CDDE，∴四边形ABCD是菱形

【例5】 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与

点C重合，得GFC．若B60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

AGDBEFC

【解析】省略 【答案】当BC3AB时，四边形ABFC是菱形． 2∵AB∥GF，AG∥BF ∴四边形ABFG是平行四边形 ∵RtABE中，B60

4

∴BAE30 ∴BE1AB 23AB 2∵BECF，BC∴EF1AB 2∴ABBF

∴四边形ABFG是菱形．

【例6】 如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形．已知ABAC．

⑴ 顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵ 当BAC为 度时，四边形ADFE为正方形．

FEDABC

【解析】省略

【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．

当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）

当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）． ⑵ 150．

板块二、与菱形相关的几何综合题

【例7】 已知等腰△ABC中，ABAC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点

除外），过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.

⑴求证四边形AEPM为菱形

⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

CDEAMPFB

5

【解析】省略

【答案】⑴∵PM∥AC，EF∥AB

∴四边形AEPM为平行四边形 ∵ABAC，AD平分CAB ∴CADBAD

∵ADBC，BADEPA ∴CADEPA ∵EAEP

∴四边形AEPM为菱形

1⑵当P为EF中点时，S菱形AEPMS四边形EFBM

2∵四边形AEPM为菱形，∴ADEM ∵ADBC ∴EM∥BC 又EF∥AB ∴四边形EFBM为平行四边形

板块三、中位线与平行四边形

【例8】 在四边形ABCD中，ABCD，P，Q分别是AD、BC的中点，M，N分别是对角线AC，BD中点，证明：PQ与MN互相垂直．

APDMNBQC

【解析】连接PN,NQ,MQ,PM．证明PNQM为菱形． 【答案】见解析

【例9】 如图，四边形ABCD中，ABCD，E，连结EF并延长，分别交BA，AD的中点，F分别是BC，CD的延长线于点G，H，求证：BGECHE

6

HGAFDBEC

【解析】省略

【答案】连结BD，取BD中点P，连结PE，DBA的中位线，所PF，由条件易得PE，PF分别是BDC，以PE∥DC，PF∥BA，且PE11DC，PFBA，因为ABCD，所以PEPF，所以22PEFPFE，由PE∥DC可得：PEFCHE，同理可得PFEBGE，所以

BGECHE

HGAFDPBEC

【例10】 如图，已知BE、CF分别为ABC中B、C的平分线，AMBE于M，ANCF于N，求

证：MN∥BC．

AFENMCB

【解析】延长AM、AN交BC于点Q、R．

由等腰三角形三线合一可得AMQM、ANRN 再由三角形中位线可得MN∥BC．

【答案】见解析

【例11】 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，ADE和BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、

DA的中点分别为P、Q、M、N，证明四边形PQMN为平行四边形且PQPN．

7

DMCNQAPEB

【解析】如图，连结AC、BD．

∵PQ为ABC的中位线 ∴PQ∥AC且PQ1AC 21AC 2同理MN∥AC且MN∴MN∥PQ且MNPQ ∴四边形PQMN为平行四边形． 在AEC和DEB中

AEDE，ECEB,AED60CEB

即AECDEB ∴AEC≌DEB ∴ACBD ∴PQ11ACBDPN. 22DNQAPEBMC

【答案】见解析

板块四、正方形的性质及判定

【例12】 如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且

AEAF，AF20，则BE的长为 ADFEBC

【解析】省略

8

【答案】12

【例13】 如图，正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OEOF，分别交AB，CD于

CF3，则EF E，F，若AE4，AOEBFCD

【解析】省略 【答案】5

【例14】 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG1，

BF2，GEF90，则GF的长为 ．

DCFGAEB

【解析】省略 【答案】3

【例15】 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交

于M、N，若EAF50，则CMECNF ．

DFCNEMAB

【解析】如图，连结AC．

9

DFCNEMAB

【解析】100

【例16】 如图，在正方形ABCD中，点P，为正方形内的两点，且PBPD，，PBAB，CBPPBPP111则BPP 1AP1PBCD

【解析】连结PC，则PCD≌PCB，BCPDCP45，又PBP≌CBP，得BPPBCP45 11【答案】45

【例17】 如图，过正方形顶点A引AE∥BD，且BEBD．若BE与AD的延长线的交点为F，求证

DFDE．

AGDFBE

【解析】省略

【答案】设正方形的边长为a，如图所示．引BGAE于G，则ABG为等腰直角三角形．

BG211aBDBE 222所以，在直角BEG中， BEG30．

由于12，23，所以 1315．

从而，在EFD中，

F18012135151，

DEDF．

【例18】 已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延

长交DE于F．

10

（1）求证：BCG≌DCE；

（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90得到DAE，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明

理由．

A

D

E G

B

【解析】省略

【答案】⑴∵四边形ABCD是正方形，

∴BCCD，BCD90． ∵BCDDCE180， ∴BCDDCE90． 又∵CGCE，

∴BCG≌DCE． ⑵∵DCE绕D顺时针旋转90得到DAE， ∴CEAE． ∵CECG， ∴CGAE．

∵四边形ABCD是正方形， ∴BE∥DG，ABCD． ∴ABAECDCG， 即BEDG．

∴四边形DEBG是平行四边形．

F E

C

【例19】 如图，点M，CD上，已知MCN的周长等于正方形ABCD周长N分别在正方形ABCD的边BC，的一半，求MAN的度数

DNCMAB

【解析】省略

【答案】MNBMDN，延长CD至M'，使M'DBM，证明ADM'≌ABM，AM'N≌AMN，测

11

得MANM'ANM'AM45

【例20】 如图，设EF∥正方形ABCD的对角线AC，在DA延长线上取一点G，使AGAD，EG与DF交于H，求证：AH正方形的边长．

GAD12EHBFC

【解析】省略

【答案】当且仅当GHD为直角三角形时，GD的中线AHAD．

由已知证明GHD为直角三角形并不困难．

因为ABCD为正方形，所以ABBC．由于EF∥AC，所以AEFC． 又AGADDC，

GAEDCF90

所以AGE≌DCF． 从而GCDF．

因为CDGA，所以FDGE（即GH），

DHG90．

故DHG为直角三角形，且AH为斜边DG的中线，从而

1AHGDAD正方形的边长．

2【例21】 如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2ABAD，点P是BC边上一动点，PEMC，

PFBM，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形．

AFBMECDP

【解析】省略

【答案】当P运动到BC中点时，四边形PFME为正方形

∵△AMB是等腰直角三角形 ∴ABM45 又∵ABC90

∴PBFABCABM45 同理可得：PCE45

12

∴PBFPCE45 ∴BMC90 ∴四边形FMEP为矩形

PBFPCE在△PBF和△PCE中，BFPCEP90

PBPC∴△PBF≌△PCE ∴PFPE

∴四边形PEMF为正方形．

【例22】 已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平

分线，CEAN，垂足为点E． ⑴ 求证：四边形ADCE为矩形；

⑵ 当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

MAENBDC

【解析】省略

【答案】⑴ 证明：在ABC中，ABAC，ADBC

∴BADDAC

∵AN是ABC外角CAM的平分线 ∴MAECAE

∴DAEDACCAE18090 又∵ADBC，CEAN ∴ADCCEA90 ∴四边形ADCE为矩形． ⑵ 例如，当AD1BC时，四边形ADCE是正方形 212证明：∵ABAC，ADBC于D ∴DC又AD1BC 21BC，DCAD 2由⑴四边形ADCE为矩形

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∴矩形ADCE是正方形．

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