高三数学期中试卷附答案解析

考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人 得 分 一、选择题

1.若正整数

除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图，程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩

余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（ ）

A．18 B．17 C．16 D．15

2.将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为

3.设等差数列的前项和为，若＝9，＝36，则＝（ ）A．63 B．45 C．43 D．27 4.设为两条不同的直线，

为两个不同的平面，下列命题中为真命

题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若

，则

D．若，则

5.如右边程序框图所示，已知集合A={x|框图中输出的x值}，集合B={y|框图中输出的y值}，全集U=Z（Z为整数集），当输入x的值为一l时．（ A．

B．

C．

D．

6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） A．2枝玫瑰的价格高 B．3枝康乃馨的价格高

C．价格相同 D．不确定

7.设函数

且，则（ ）

A．1 B．2 C．3 D．6 8.下列四个命题：

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； ②某只股票经历了l0个跌停（每次跌停，即下跌l0%）后需再经过如个涨停（每次涨停，印上涨10%）就酉以回到原来的净值；

③某校高三一级部和二级部的人数分别是m、n，本次期末考试两级部；数学平均分分别是a、b，则这两个级部的数学平均分为

④某中学采伯系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497--512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组00l～016中随机抽到的学生编号是007． 其中真命题的个数是

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9.函数，若

，则实数取值范围是

（ ） A．

B．

C． D．

10.若直线)被圆

截得的弦长为4，

则的最小值为 A． B．

C． D．

11.已知

，

，若

，则实数的取值

范围是（ ） A． B．

C．

D．

12.若的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )

A． B． C．

D．

13.已知函数

在R上连续，则

（ ）

A．4 B．-4 C．2 D．-2

14.圆与直线（）的位置关系为

A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 15.设、

分别为双曲线C：

，

的左、右焦点，A 为

双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．

16.已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式

为（ ） A．

B． C．

D．

17.复数

（其中为虚数单位）的虚部等于( ) A．

B．

C． D．

18. 已知i是虚数单位，则

= （ ）

A． 1+2i B． -1-2i C． 1-2i D． -1+2i

19.设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝

{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于( ) A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)

C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)

20.下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ）

A．

B．

C． D．

评卷人 得 分 二、填空题

21.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)

＝________. 22.如右图，是直线上不同的三个点，点不在直线上，

为实

数，则使

成立的充分必要条件是 ．

23.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 .

24.已知函数的图像过点

，且在点处的切线恰与

直线

垂直.则函数

的解析式为 .

25.若实数满足约束条件，则的最小值为

____________．

26.某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，要求不同安排方案的种数．现有四位同学分别给出下列四个结果：①；②＋2＋＋；③26－7；④．其中正确结论的序号是________． 27.已知在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数的最大值

是 。

28.已知抛物线的顶点为原点，焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，若，则点的坐标为__________． 29.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值

为 .

30.掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是____。

评卷人 得 分 三、解答题

31.（2015秋•商洛月考）在正项数列{an}中，a1=1，点An（）

在曲线y2﹣x2=1上，数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线y=﹣x+1上，其中

Tn是数列{bn}的前n项和．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn； （2）若cn=an•bn，数列{cn}的前n项和Sn． 32.（本小题满分14分） 已知函数的图象过坐标原点O, 且在点

处的切线的斜率是.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求在区间

上的最大值

33.已知椭圆

的左、右焦点分别为，，椭圆上一点

与椭圆右焦点的连线垂直于轴． （1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值．

34.化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户： 分值区间 频数 20 40 80 50 10

分值区间 频数 45 75 90 60 30

男性用户：

（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别对手机的“认可”有关： 女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 “不认可”手机 合计 附：

0.05 0.01 3.841 6.635

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和数学期望．

35.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系中，对于直线：和点

记若<0，则称点被直

线分隔.若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. ⑴求证：点⑵若直线

是曲线

被直线

分隔；

的分隔线，求实数的取值范围；

⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

参

1 .B

【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余的最小两位数，故输出的为，选B．

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 2 .B 【解析】

试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选B. 【考点】三视图

【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 3 .B 【解析】

试题分析：由等差数列的性质知，，

，

成等差数列，∴

，∴，故选B.

考点：等差数列的性质. 4 .D 【解析】

试题分析：如图所示，面，面，但是和并不平行，所以选项错误；面，面面,但是

面，所以选项错误；面，面面,但是面,所以选项错误；选项是面面垂直的一种判定方法，所以选项正确；故答案选

考点：点、线、面的位置关系. 5 .D

【解析】解：由题意可知，经过循环得到的y=\"-3,x=1;\" y=\"-1,x=2;\"

y=\"1,x=2;\" y=\"3,x=3;\" y=\"5,x=4;\" y=\"7,x=5;\" y=9,x=6;因此A={0,1,2，3,,4 ,5，6 }，B={-3，-1,1,3,5,,7，9} 因此（

=

6 .A 【解析】

试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则

，因此

，因此2枝玫瑰的价格高，选A. 考点：不等式比较大小 7 .C

【解析】函数所以

，解得

.

所以.

故选C. 8 .C 【解析】

试题分析：样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，∴①正确；∵设股票数值为a，股票经历10个跌停（下跌10%）后，再经过10个涨停（上涨10%），其数值为 ∴②错误，因为这两

个级部的数学平均分为

，所以③错误，∵用系统抽样方法，从全

体800名学生中抽50名学生的分段间隔为

，又从497～513这

16个数中取得的学生编号是503， 503=16×31+7，∴在第1小组1～l6中

随机抽到的学生编号是007号，∴④正确，故正确命题为：①④．所以正确命题有2个，所以选C．

考点：样本方差的意义，平均数，系统抽样． 9 .D 【解析】 试题分析：因

,故函数

是

偶函数,则原不等式可化为,即

,又当时,函数是单调递增函数,故

可化为

,即

,应选D．

考点：函数的奇偶性和单调性的综合运用． 10 .A

【解析】因为直线被圆

截得的弦长为4，

圆的圆心为(,半径为2，

所以直线过圆心(

,则有a+2b=2,

所以,

当且仅当

时，等号成立. 本题选择A选项. 11 .A

【解析】因为，所以，且，解得，故选A．

12 .A 【解析】

试题分析：圆的圆心为.由圆的性质知，直线垂直于弦

所在的直线,则

.所以直线

的方程为：

,即

.故选A

考点：垂直 圆 13 .A

【解析】本题考查函数连续及函数在某一点处连续的概念.函数极限的运算. 函数

在

连续的充要条件是

；

于是函数在R上连续，需使函数在处连续；

令

得

故选A

14 .C 【解析】略 15 .A

【解析】 试题分析：以

为直径的圆方程

，与渐近线

相交

，根据对称性得

，，解得，

又

，

，，

，

，由余弦定理得

，

整理得

，因此离心率

，故答案为A. 考点：1、双曲线的简单几何性质；2、余弦定理的应用. 16 .B 【解析】

试题分析：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．

由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为可得函数的最小

正周期为π可得

,

，是其图象的一条对称轴，故可取

，

故符合条件的函数解析式是，故选B． 考点：函数图象与性质

17 .B 【解析】 试题分析：

=

，所以，复数（其中为虚数单位）的

虚部等于-1，选B。

考点：本题主要考查复数的概念，复数的代数运算。

点评：简单题，复数除法运算中，要注意通过分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化。 18 .D 【解析】，所以选D

19 .A

【解析】由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．20 .C

【解析】首先判断奇偶性： B为偶函数，A,C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数, 所以排除B、D;

在（0，2）先增后减，排除A,故选C.

考点：函数的单调性与奇偶性.

21 .－

【解析】∵α，β∈

，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝

和sin

＝－得α－＝±，－β＝－，当α－

＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈

矛盾；当α－

＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－. 22 .

【解析】略

23 .32 【解析】

试题分析：如图，红色虚线表示截面，

可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，∴该几何体的体积为

.

考点：本题考查三视图，正方体的体积

点评：解决本题的关键是把三视图还原为原几何体 24 .

【解析】略 25 .

【解析】

试题分析：如下图，画出可行域，表示可行域内的点与定点

连

线的斜率，所以如图可得直线

为斜率的最小值，

,所以

,所以

的最小值是：

.

考点：线性规划

【方法点睛】线性规划中求最值的几种题型包含（1）的最值，可转化为

的形式，斜率

当

时，

，那么可将

的最值问题转化为直线的纵截距的最值问题；（2）

表

示可行域内的点与点间距离平方的最值；（3）

表示可行域内的点与点

连线斜率的最值；（4）

可先变形为

,而

表示可行域内的点到直线

距离的最值.

26 .②③

【解析】用直接法：因为＝，故＋2＋＋＝＋＋＋＋，故②正确；用间接法：因为＋＝7，所以26－7，故③正确． 27 .3 【解析】略 28 .

【解析】抛物线方程为

由抛物线定义得

29 .10 【解析】 试题分析：

作出可行域如图，令，则

，作出目标直线，经过平

移，

当经过点时，取得最大值，联立 得

，代入得

，

∴

考点：线性规划。 30 .1/18 【解析】略 31 .（1）an=n；bn=2×

（2）Sn=﹣

．

【解析】

试题分析：（1）由于a1=1，点An（）在曲线y2﹣x2=1上，可得an+1﹣an=1，利用等差数列的通项公式即可得出an．数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线y=﹣x+1上，可得Tn=﹣+1，利用递推关系与的等

比数列的通项公式可得bn．

（2）cn=an•bn=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式

即可得出．

解：（1）∵a1=1，点An（）在曲线y2﹣x2=1上，

∴an+1﹣an=1，

∴数列{an}是等差数列，首项与公差都为1， ∴an=1+（n﹣1）=n．

∵数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线y=﹣x+1上， ∴Tn=﹣

+1，

当n=1时，b1=﹣

+1，解得b1=．

当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=

+1﹣

=

，

化为：bn=

，

∴数列{bn}是等比数列，首项为，公比为，

∴bn==2×

．

（2）cn=an•bn=

，

∴数列{cn}的前n项和Sn=2

，

=2

，

∴Sn=2=2×

=2

，

化为Sn=﹣

．

考点：数列的求和；数列递推式． 32 .解：（Ⅰ）当时，，则

.

依题意得：，即

.

解得

. ………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①当

时，

.

令得. ………………………………………………7分 当变化时，

的变化情况如下表：

0 — 0 + 0 — 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又

，，.

所以在

上的最大值为2. …………………………………………..10分 ②当时, . 当

时,

,最大值为0； 当

时, 在

上单调递增，所以

在

最大值为

.

………………………………………………………………..13分 综上，当时，即时，

在区间

上的最大值为2；

当

时，即

时，

在区间上的最大值为

.

………………………………………………………………..14分

【解析】略 33 .(1)

；(2)

.

【解析】 试题分析：(1)因为

轴,所以

点代入方程得:

,又

,可得方程

；(2)设切点为,因为

,

对求导,

,所以切线斜率为

,所以切线方程为:

,与椭圆联立,写出韦达定理,可求出的中点坐标

,进而写出中垂线的方程,得到

点坐标,根据

的坐标写

出用表示,利用基本不等式放缩即可求得最小值,注意验证取等条件.试题解析：解：（1）点

与椭圆右焦点的连线垂直于轴，

，将点坐标代入椭圆方程可得．

又

，联立可解得

，，

所以椭圆的方程为．

（2）设切点坐标为，，则．

整理，得

，

．

设

，

， 联立直线方程和椭圆方程可得，

的中点坐标为

，

的垂直平分线方程为

，令

，得

．即

，

．

，

，

当且仅当时取得等号． 直线

的斜率的最小值为

．

考点：直线与圆锥曲线.

【方法点睛】本题考查学生的是直线与圆锥曲线问题,属于中档题目.圆锥曲线问题是高考的必考内容,分别以主观题和客观题的形式出现,在解答题中主要考查的是直线与圆锥曲线相交的问题,多以椭圆和抛物线结合圆的切线为主,基本思路是联立两个曲线方程,消掉一元,写出点坐标和韦达定理,转化为方程有两个解的问题,再结合题意求出方程或者最值. 34 .（1）列联表 女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140 180 320 “不认可”手机 60 120 180 合计 200 300 500 有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．

（2）概率分布列为

其期望为 .

【解析】

试题分析：（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格，同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数，填入表格可得列联表，由公式计算出的值与临界值中数据比较即可；（2）由分层抽样的原则算出从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分的人数，及评分小于90分的人数，评分不小于90分的人数，由古典概型公式分别计算 时的概率可列出概率分布列与期望.

试题解析： （1）由频数分布表可得

列联表如下图：

女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140 180 320 “不认可”手机 60 120 180 合计 200 300 500 ，所以有

的把握认为性别

和对手机的“认可”有关．

（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为，，，，评分不小于90分的人数为2，记为，，从6人中任取人， 评分小于90分的人数

，其中

，

，

，所以3名用户中评分小于90分的人数的概率分布列

为

其期望为 .

考点：1.性检验；2.离散型随机变量的概率分布裂与期望. 【名师点睛】本题考查性检验及离散型随机变量的概率分布裂与期望，属中档题；性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以选择题形式出现，命题的主要角度有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.已知的观察值，判断几种命题的正确性.

35 .(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：本题属于新定义问题，（1）我们只要利用题设定义求出的值，若，则结论就可得证；（2）直线是曲线的分隔线，首先直线与曲线无交点，即直线方程与曲线方程联立方程组

，方程组应无实解，方程组变形为

，此方程就

无实解，注意分类讨论，按二次项系数为0和不为0分类，然后在曲线上找到两点位于直线的两侧．则可得到所求范围；（3）首先求出轨迹的方程

，化简为，过原点的直线中，

当斜率存在时设其方程为

，然后解方程组

，变形为

，这个方程有无实数解，直接判断不方便，可转化为

判断函数

与

的图象有无交点，而这可利用

函数图象直接判断．是开口方向向上的二次函数，是幂函数，其图象一定有交点，因此直线不是的分隔线，过原点的直线还有一条就是，它显然与曲线无交点，又曲线上两点一定在直线两侧，故它是分隔线，结论得证． 试题解析：（1）由题得，，∴

被直线

分隔.

（2）由题得，直线与曲线

无交点

即

无解

∴或，∴. 又对任意的，点

和

在曲线

上，满

足

，被直线

分隔，所以所求的范围是．

（3）由题得，设，∴

，

化简得，点

的轨迹方程为

①当过原点的直线斜率存在时，设方程为.

联立方程，.

令

，因为

， 所以方程有实解，直线

与曲线有交点．直线

不是曲

线的分隔线．

②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为.

显然与曲线没有交点，又曲线上的两点

对于直线满足，即点被直线分隔．所以直

线是分隔线． 综上所述，仅存在一条直线

是的分割线.

【考点】新定义，直线与曲线的公共点问题.