线性代数 期中考试 试题+答案

一、填空题（共30分，每填对一空得3分）

231、函数uxyz在点P(1,1,1)处沿方向(1,2,3)有最大方向导数，最大方向导数等于14．

zxyy2、设zarctan，则 ， 22xxyxyz2xy． 2222xxy.

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3、函数zz(x,y)由方程xyze0确定；

z2xz3yz则 ， ． zxe1ye1223z

dyx22xy的通解为yce；4、微分方程dxdyxyx(x0)的通解为 yxlnxcx． dx.

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5、设函数f(x,y)连续，f(x,y)xyf(u,v)dudv，

其中D由直线y0，f(u,v)dudv1D4，

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Dx1和yx所围，则

f(x,y)xy14．

二、单项选择题（共20分，每题4分） 1、设函数zf(x,y)的全微分dzxdxydy，O(0,0) (D) ．

(A) 不是f(x,y)的连续点； (B) 不是f(x,y)的极值点；

(C) 是f(x,y)的极大值点； (D) 是f(x,y)的极小值点．

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则点

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2、设函数f(x,y)ex2y4，则 (B) ．

(A) fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在； (B) (C) (D)

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fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在； fx(0,0)和fy(0,0)都存在； fx(0,0)和fy(0,0)都不存在． 精品文档

3、设积分域：，Isin(xy)dxdy，

2222DxyI32sin(xy3)dxdy，D则 (B) ． (A) I1I2I3； (B) I1I3I2； (C) I2I1I3； (D) I2I3I1．

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11DI43sin(xy4)dxdy，

D 精品文档

22f(u)4、设函数连续，D(x,y)xy2y，则

f(xy)dxdy等于 (D) ．

D2(A)

11dx1x1x2f(xy)dy； (B) 22yy20dy20f(xy)dx；

(C) 20d2sin0f(rsincos)dr；(D)

d2sin0rf(r20sincos)dr.

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5、函数f(x,y)在点O(0,0)处可微的一个充分条件是 (D) ． (A)

(x,y)(0,0)limf(x,y)f(0,0)；

f(x,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0)0, lim(B) lim 0；

x0y0xy(C) limfx(x,0)fx(0,0) 且 limfy(0,y)fy(0,0)；

x0y0(D)

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(x,y)(0,0)limf(x,y)f(0,0)xy220．

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2x三、（10分）求微分方程 yy(3x4)e 通解．

解 特征方程 10，特征根 11,21；

------2分

对应的齐次方程的通解 yc1ec2e -----5分 设原方程的特解y(axb)e并代入原方程，解得: yxe -----9分 原方程的通解: yc1ec2exe -----10分

xx2xxx2*2x*2x.

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xyz6四、（10分）求曲线L： 在点

xyz0222P(1,2,1)处的切线和法平面方程．

解 对x求导，得 2x2yy2zz01yz0

在点P(1,2,1)处，2yz1yz1，得

y0，z1 切线方程： x11y20z11 法平面方程： xz0 .

------6分 -----8分 -----10分

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五、（10分）计算二重积分 I(3xy)dxdy，

D2其中D：xy1．

解 I(9xy6xy)dxdy(9xy)dxdy

DD222222（奇偶性+对称性）-------2分

1222222(9xy)(x9y)dxdy5(xy)dxdy2DD （轮换对称性） -------4分

5.

205dr dr ------10分

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六、（10分）在曲面S：2xyz1上求距离平面2xyz6的最近点、最远点． 解 点(x,y,z)到平面的距离

2xyz6622222，---2分

22设 L(x,y,z,)(2xyz6)(2xyz1)

------2分

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4(2xyz6)4x0LxL2(2xyz6)2y0y令  ------6分

解得

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Lz2(2xyz6)2z0L2x2y2z210最近点P1111111(2,2,2)，最远点P2(2,2,2) -----10分

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六、（10分）在曲面S：2xyz1上求距离平面：2xyz6的最近点、最远点． 解令 P0(x0,y0,z0)S, 椭球面S过P0切平面方程

1:2x0xy0yz0z1.

2x0220222令1//2，有:

y0120z01， (1)

又： 2xyz1， (2)

111111解得最近点P1(,,)，最远点P2(,,) 22222220

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定理 设P0(x0,y0,z0)S，而S为实二次曲面

Ax2Bxy2Cxz Dy  2Eyz Fz

2Gx2 Hy2IzJ0,

222若 Ax0 + By0 + Cz0 + G,

Bx0 + Dy0 + Ez0 + H, Cx0 + Ey0 + Fz0 + I ,

不全为零, P0 称为S 的寻常点. 则二次曲面S 在P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为:

Fz0zGxx0 Hyy0Izz0J0.

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Ax0xBx0yxy0Cx0zxz0 Dy0y  Ey0zyz0精品文档

七、（10分）设函数f(u)在(0,)内二阶连续可微，f(1)0，f(1)1，且zf(xy)

zz满足220，求f(u)．

xy2222解 令xyu，

zyxzxf(u)，23f(u)2f(u)； 则

xuuxuzxyzyf(u)，23f(u)2f(u). --4分

yuuyu.

22222222精品文档

1代入原方程并化简，得 f(u)f(u)0，即

uuf(u)f(u)(uf(u))0，从而 uf(u)c1。

由f(1)1，得c(u)111，故：fu。

f(u)lnuc2，

再由f(1)0，得c20，

所以 f(u)lnu.

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------5分

------10分