九年级圆的概念与性质及垂径定理

圆的基本概念和性质及垂径定理

1.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意⼀条弦，求证：AB≥CD.2.如图所⽰，BD，CE是△ABC的⾼，求证：E，B，C，D四点在同⼀个圆上．3.点A、O、D与点B、O、C分别在同⼀直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5

车轮为什么要做成圆形？能不能做成别的形状，⽐如三⾓形、四边形等？（元调）车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A．同弧所对的圆周⾓相等B．直径是圆中最长的弦C．圆上各点到圆⼼的距离相等D．圆是中⼼对称图形

知识点⼀（圆的基本概念和性质）【知识梳理】⼀、圆的定义及性质1.圆的定义

（1）动态：如图，在⼀个平⾯内，线段OA绕它固定的⼀个端点O旋转⼀周，另⼀个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆⼼，线段OA叫做半径. 以点O为圆⼼的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．（2）静态：圆⼼为O，半径为r的圆是平⾯内到定点O的距离等于定长r的点的集合.2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆⼼旋转任⼀⾓度都和原来图形重合；圆是中⼼对称图形，对称中⼼是圆⼼；②圆是轴对称图形：任何⼀条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆⼼的任何⼀条直线都是圆的对称轴3.两圆的性质

两个圆组成的图形是⼀个轴对称图形，对称轴是两圆连⼼线（经过两圆圆⼼的直线叫做两圆连⼼线）.⼆、与圆有关的概念1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆⼼的弦叫做直径.弦⼼距：圆⼼到弦的距离叫做弦⼼距.2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意⼀条直径的两个端点把圆分成两条弧，每⼀条弧都叫做半圆；优弧：⼤于半圆的弧叫做优弧；劣弧：⼩于半圆的弧叫做劣弧.3.同⼼圆与等圆

圆⼼相同，半径不等的两个圆叫做同⼼圆.

⽐劣弧长.”试分析这个观点是否正确.

甲同学：此观点正确，因为优弧⼤于半圆，劣弧⼩于半圆，所以优弧⽐劣弧长.

⼄同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O 中的优弧，中的劣弧，它们的长度⼤⼩关系是不确定的，因此不能说优弧⼀定⽐劣弧长.请你判断谁的说法正确？

【变式】判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm ，则与是等弧.

类型三、圆的对称性

例6.已知：如图，两个以O 为圆⼼的同⼼圆中，⼤圆的弦AB 交⼩圆于C ，D ．求证：AC=BD ．【变式1】平⾯上的⼀个点到圆的最⼩距离是4cm,最⼤距离是9cm ，则圆的半径是（ ）.A.2.5cmB.6.5cm

C. 2.5cm 或6.5cmD. 5cm 或13cm

【变式2】（1）过____________________上的三个点确定⼀个圆．（2）交通⼯具上的轮⼦都是做圆的，这是运⽤了圆的性质中的_________．

例7.如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的⼀个动点，那么OP 的长的取值范围是 .AmB CD AB CD AB CD AB CD【课堂练习】

1.已知：如图，矩形ABCD的对⾓线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆⼼的同⼀个圆上.2.下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧

B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧

D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧

3.圆O所在平⾯上的⼀点P到圆O上的点的最⼤距离是10，最⼩距离是2，求此圆的半径是多少？4.已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的⼀个动点，则OP的取值范围是___ ____．知识点⼆（垂径定理）【知识梳理】知识点⼀、垂径定理1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.知识点⼆、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧.【例题精讲】

类型⼀、应⽤垂径定理进⾏计算与证明

例1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cmD．1 cm

【变式1】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆⼼O到弦CD 距离。【变式2】如图，△O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，△DEB=30°，求弦CD长．

例2.如图，AB 为半圆直径，O 为圆⼼，C 为半圆上⼀点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC=8cm ，DE=2cm ，求OD 的长．

【变式1】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆⼼O. 若圆O 的半径是5，且，AD=13. 求弦BC 的长.【变式2】在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂⾜为C ，MN=10，AB=8，则MC=_________．

例3.如图1，某公园的⼀座⽯拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱⾼为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ．m

【变式】如图，某新建公园有⼀个圆形⼈⼯湖，湖中⼼O 处有⼀座喷泉，⼩明为测量湖的半径，在湖边选择A 、B 两个点，在A 处测得△OAB=45°，在AB 延长线上的C 处测得△OCA=30°，已知BC=50⽶，求⼈⼯湖的半径．（结果保留根号）30DAC ?∠=53

例4.如图是⼀个半圆形桥洞截⾯⽰意图，圆⼼为O，直径AB是河底线，弦CD是⽔位线，CD△AB，且AB=26m，OE△CD于点E．⽔位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；

（2）现汛期来临，⽔⾯要以每⼩时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【变式】不过圆⼼的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．（1）在下⾯三个圆中分别画出满⾜上述条件的具有不同位置关系的图形；

（2）请你观察（1）中所画图形，写出⼀个各图都具有的两条线段相等的结论（OA＝OB除外）（不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的⼀个图形，证明（2）所得出的结论．【课堂练习】1.如图，⊙

O的两条弦AB、CD互相垂直，垂⾜为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．

2.如图所⽰，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．3.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.

4.有⼀⽯拱桥的桥拱是圆弧形，如图所⽰，正常⽔位下⽔⾯宽AB=60m，⽔⾯到拱顶距离CD=18m，当洪⽔泛滥时，⽔⾯距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在⽔⾯宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．1.下列结论正确的是（）

A．经过圆⼼的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴

C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴

2.垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3.已知⊙O的直径AB=12cm，P为OB中点，过P作弦CD与AB相交成30°⾓，则弦CD的长为（）．315cm310cm35cm33cm A．B．C．D．

4.如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．

5.如图，有⼀座拱桥是圆弧形，它的跨度为60⽶，拱⾼18⽶，当洪⽔泛滥到跨度只有30⽶时，要采取紧急措施，若拱顶离⽔⾯只有4⽶，即PN=4⽶时是否要采取紧急措施?圆的定义：

①圆⼼确定圆的位置，半径确定圆的⼤⼩；确定⼀个圆应先确定圆⼼，再确定半径，⼆者缺⼀不可；②圆是⼀条封闭曲线.

③定点为圆⼼，定长为半径；②圆指的是圆周，⽽不是圆⾯；③强调“在⼀个平⾯内”是⾮常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球⾯，⼀个闭合的曲⾯.圆的性质：

①圆有⽆数条对称轴；②因为直径是弦，弦⼜是线段，⽽对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，⽽应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.与圆相关的概念：

弦：直径是圆中通过圆⼼的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不⼀定是直径.弧：①半圆是弧，⽽弧不⼀定是半圆；②⽆特殊说明时，弧指的是劣弧.

等弧：①等弧成⽴的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平⾏弦所夹的弧相等.垂径定理：

（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

（2）这⾥的直径也可以是半径，也可以是过圆⼼的直线或线段.

注意：在垂径定理及其推论中：过圆⼼、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆⼼、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）1.下列命题中错误的有（）．

（1）弦的垂直平分线经过圆⼼（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对⾓线互相平分（4）圆的对称轴是直径A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2.如图所⽰，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不⼤于半圆的相等弧有（）． A．l对 B．2对 C．3对D．4对

3.如图，已知△O的直径AB△CD于点E，则下列结论⼀定错误的是（）A．CE=DE B．A E=OE C．=D．△OCE△△ODE

4.如图所⽰，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，?则MN的长为（） A．2 B．4 C．6 D．85.如图，AB是△O的直径，CD为△O的⼀条弦，CD△AB于点E，已知CD=4，AE=1，则△O的半径为．6.圆的半径为5cm，圆⼼到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．

7.如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．8.如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______°．

9.如图所⽰，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，求⊙O半径．

10.如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF△AD．（1）请证明：E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．